专题19 基本不等式小题（解析版）.docx

专题19基本不等式小题

解题秘籍

解题秘籍

基本不等式

，当且仅当时取等号

其中叫做正数，的算术平均数，

叫做正数，的几何平均数

通常表达为：（积定和最小）

应用条件：“一正，二定，三相等”

基本不等式的推论1

（和定积最大）

当且仅当时取等号

基本不等式的推论2

当且仅当时取等号

其他结论

①eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2(ab＞0)．

②eq\f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))≤eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)≤eq\r(\f(a2＋b2,2))(a＞0，b＞0)．

③已知a，b，x，y为正实数，

若ax＋by＝1，则有eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝＝a＋b＋eq\f(by,x)＋eq\f(ax,y)≥a＋b＋2eq\r(ab)＝(eq\r(a)＋eq\r(b))2.

若eq\f(a,x)＋eq\f(b,y)＝1，则有x＋y＝＝a＋b＋eq\f(ay,x)＋eq\f(bx,y)≥a＋b＋2eq\r(ab)＝(eq\r(a)＋eq\r(b))2.

注意1．使用基本不等式求最值时，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可．

注意2．“当且仅当a＝b时等号成立”的含义是“a＝b”是等号成立的充要条件，这一点至关重要，忽略它往往会导致解题错误．

注意3．连续使用基本不等式求最值，要求每次等号成立的条件一致．

模拟训练

模拟训练

一、单选题

1．（22·23下·湖北·二模）若正数满足，则的最小值为（????）

A． B． C．2 D．

【答案】A

【分析】利用基本不等式及不等式的性质即可求解.

【详解】因为正数满足，

所以.

所以,

当且仅当，即时，取等号，

当时，取得的最小值为.

故选：A.

2．（22·23·邯郸·一模）已知，，且，则的最小值是（????）

A．2 B．4 C． D．9

【答案】C

【分析】根据“乘1法”，运用基本不等式即可求解.

【详解】依题意，

因为，所以，则

，

当且仅当，时，等号成立．

故选：C.

3．（22·23下·湖北·二模）已知，，且，那么的最小值为（????）

A． B．2 C． D．4

【答案】C

【分析】由题意可得，再由基本不等式求解即可求出答案.

【详解】因为，，，

则

.

当且仅当即时取等.

故选：C.

4．（22·23上·重庆·一模）已知a，b为非负实数，且，则的最小值为（????）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【分析】首先根据题意求出，，然后将原式变形得，最后利用1的妙用即可求出其最值.

【详解】，且,为非负实数，，

则

则，解得，，解得，

，

当且仅当即，时,即时等号成立，

故，

故选：B.

5．（22·23下·长沙·一模）已知，则m，n不可能满足的关系是（????）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据对数的运算判断A，根据不等式的性质判断BCD.

【详解】，即，即.

对于A，成立.

对于B，，成立.

对于C，，即.故C错误；

对于D，成立.

故选：C.

6．（22·23下·安康·二模）若，，且，则下列说法正确的是（????）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由基本不等式可判断A、B、C；因为，再由二次函数的性质可判断D.

【详解】对于A：，

故A正确；

对于B：∵，∴，故B错误；

对于C：，

当且仅当时取等号，故C错误；

对于D：，故D错误．

故选：A．

7．（22·23·滁州·二模）若a，b，c均为正数，且满足，则的最小值是（????）

A．6 B． C． D．

【答案】C

【分析】利用因式分解法，结合基本不等式进行求解即可.

【详解】，

因为a，b，c均为正数，

所以有，

当且仅当时取等号，即时取等号，

故选：C

8．（22·23·湛江·二模）当，时，恒成立，则m的取值范围是（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】将左侧分式的分子因式分解成的形式，再利用均值不等式的结论进行计算即可以得到结果.

【详解】当，时，，

当且仅当，即时，等号成立，

所以的最大值为．

所以，即．

故选：A.

9．（22·23下·辽宁·二模）数学命题的证明方式有很多种．利用图形证明就是一种方式．现有如图所示图形，在等腰直角三角形中，点O为斜边AB的中点，点D为斜边AB上异于顶点的一个动点，设，，用该图形能证明的不等式为（????）．

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】由为等腰直角三角形，得到，，然后在中，得到CD判断.

【详解】解：由图知：，

在中，，

所以，即，

故选：C

10．（22·23下·菏泽·一模）设实数满足，，，则的最小值为（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】分为与，去掉绝对值后，根据“1”的代换，化简后分