专题20 函数的基本性质小题（单调性、奇偶性、周期性、对称性）（解析版）.docx

专题20函数的基本性质小题（单调性、奇偶性、周期性、对称性）

解题秘籍

解题秘籍

定义域

①分式函数定义域：

②偶次根式函数的定义域：

③次幂型函数的定义域：

④对数函数的定义域：

⑤正切函数的定义域：

单调性

单调性的运算

①增函数（↗）增函数（↗）增函数↗

②减函数（↘）减函数（↘）减函数↘

③为↗，则为↘，为↘

④增函数（↗）减函数（↘）增函数↗

⑤减函数（↘）增函数（↗）减函数↘

⑥增函数（↗）减函数（↘）未知（导数）

复合函数的单调性

奇偶性

①具有奇偶性的函数定义域关于原点对称（大前提）

②奇偶性的定义：

奇函数：，图象关于原点对称

偶函数：，图象关于轴对称

③奇偶性的四则运算

周期性（差为常数有周期）

①若，则的周期为：

②若，则的周期为：

③若，则的周期为：（周期扩倍问题）

④若，则的周期为：（周期扩倍问题）

对称性（和为常数有对称轴）

轴对称

①若，则的对称轴为

②若，则的对称轴为

点对称

①若，则的对称中心为

②若，则的对称中心为

周期性对称性综合问题

①若，，其中，则的周期为：

②若，，其中，则的周期为：

③若，，其中，则的周期为：

奇偶性对称性综合问题

①已知为偶函数，为奇函数，则的周期为：

②已知为奇函数，为偶函数，则的周期为：

模拟训练

模拟训练

一、单选题

1．（22·23下·西安·一模）定义在R上的奇函数满足，当时，，则（????）

A． B． C．1 D．3

【答案】B

【分析】先求出函数的周期，再根据对称性求解.

【详解】因为是定义在R上的奇函数，所以，解得，

又，所以，则，即是以4为周期的周期函数，

；

故选:B.

2．（22·23·攀枝花·三模）定义在R上的连续函数满足，且为奇函数.当时，，则（?????）

A． B． C．2 D．0

【答案】B

【分析】首先根据题意，得到，，从而得到函数的周期为，再根据求解即可.

【详解】因为函数满足，所以关于对称，

即①.

又因为为奇函数，所以，

即②.

由①②知，

所以，

即，所以函数的周期为，

所以，

,

因为时，，

所以，

又为奇函数，所以当时，，

所以，

故选：B.

3．（22·23·南宁·一模）已知函数，的定义域均为，且，，若为偶函数，且，则（????）

A．5 B．4 C．3 D．0

【答案】B

【分析】根据已知条件求得的对称轴、对称中心、周期以及的周期，据此即可求得结果.

【详解】∵，∴以为对称中心，且；

∵即，

∴为偶函数，以轴为对称轴；

∴，即，

由知，，

∴，，

从而，即，

∴的周期为4，∴的周期为4；

故．

故选：B.

4．（23·24上·吉林·一模）已知函数，的定义域均为，，且，则（????）

A．24 B．26 C．28 D．30

【答案】C

【分析】利用赋值法由求得，再由推得是周期函数，进而求得，从而得解.

【详解】因为，

所以；

因为，所以，

两式相减得，即是以为周期的周期函数，

由，可得，，

又，则，

所以，

则.

故选：C.

5．（22·23·九江·一模）已知函数的定义域为，若为偶函数，且，，则（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由已知条件推导出函数周期为4，，可求.

【详解】由，令得．

令，得，，．

因为为偶函数，，即，曲线关于直线对称．

又，图像关于点中心对称，

，

可得，即，

又，

的周期．

，，

．

故选：A．

6．（22·23·广西·模拟预测）已知定义在上的函数在上单调递减，且为偶函数，则不等式的解集为（????）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由为偶函数求得函数对称轴，再结合函数的单调性进行求解即可.

【详解】∵函数为偶函数，∴，即，

∴函数的图象关于直线对称，

又∵函数定义域为，在区间上单调递减，

∴函数在区间上单调递增，

∴由得，，解得.

故选：D.

7．（22·23下·湖北·二模）已知函数图象的对称轴为，则图象的对称轴为（????）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据题设条件可得，故可得正确的选项.

【详解】设，则，

故，整理得到，

所以图象的对称轴为.

故选：C.

8．（23·24·雅安·一模）已知函数的定义域为恒成立.当时，，则不等式的解集为（????）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】先得到关于对称，结合得到，结合条件得到的单调性，结合，得到，由单调性求出解集.

【详解】因为，所以关于对称，

所以，

因为，所以，

因为，，

故在上单调递增，所以在上单调递减，

因为，，

所以，

当时，，结合单调性可知，

当时，，结合单调性可知，

故的解集为.

故选：A

9．（23·24上·绵阳·一模）已知函数是定义域为的偶函数，是奇函数，则下列结论不正确的是（????）

A． B．

C．是以4为周期的函数 D．的图象关于对称

【答案】B

【