专题21 指数、对数、幂函数小题（原卷版）.docx

专题21指数、对数、幂函数小题

解题秘籍

解题秘籍

指数的基本知识

根式的基本性质

①的定义域为,的定义域为

②，定义域为

③，定义域为

④，定义域为

⑤，定义域为

指数的基本性质

①零指数幂:;

②负整数指数幂:

③正分数指数幂:;

④负分数指数幂:

指数的基本计算

①同底数幂的乘法运算②同底数幂的除法运算

③幂的乘方运算④积的乘方运算

指数函数

指数函数的定义及一般形式

一般地，函数，叫做指数函数

指数函数的图象和性质

图

象

定义域

值域

性质

过定点

当时，；

时,

当时，；

时,

在上是增函数

在上是减函数

对数的运算

对数的定义

如果，那么把叫做以为底，的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数

对数的分类

一般对数：底数为，，记为

常用对数：底数为10，记为，即：

自然对数：底数为e（e≈2.71828…），记为，即：

对数的性质与运算法则

①两个基本对数：①，②

②对数恒等式：①，②。

③换底公式：；

推广1：对数的倒数式

推广2：。

④积的对数：；

⑤商的对数：；

⑥幂的对数：?，?，

?，?

对数函数

对数函数的定义及一般形式

形如：的函数叫做对数函数

对数函数的图象和性质

图象

性质

定义域：

值域：

当时，即过定点

当时，；

当时，

当时，；

当时，

在上为增函数

（5）在上为减函数

幂函数

幂函数的定义及一般形式

形如的函数称为幂函数，其中是自变量，为常数

幂函数的图象和性质

①幂函数的单调性

②幂函数的奇偶性

模拟训练

模拟训练

一、单选题

1．（22·23下·湖北·三模）函数的定义域是（????）

A． B． C． D．

2．（22·23·深圳·二模）已知函数，则（????）

A．2 B．-2 C． D．-

3．（23·24上·吉林·一模）已知，，，则（????）

A． B． C． D．

4．（22·23·聊城·三模）设，，则（）

A． B．

C． D．

5．（22·23·广州·二模）已知，，，则（????）

A． B．

C． D．

6．（22·23下·辽宁·二模）“”是“函数是奇函数”的（????）．

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

7．（22·23·济宁·三模）若且，则（）

A． B． C． D．

8．（22·23下·威海·二模）已知，，则（????）

A． B．2 C．6 D．9

9．（22·23下·河北·一模）若函数，则（????）

A． B． C． D．

10．（22·23·三明·三模）17世纪，法国数学家马林·梅森在欧几里得?费马等人研究的基础上，对（为素数）型的数作了大量的研算，他在著作《物理数学随感》中断言：在的素数中，当，3，5，7，13，17，19，31，67，127，257时，是素数，其它都是合数.除了和两个数被后人证明不是素数外，其余都已被证实.人们为了纪念梅森在型素数研究中所做的开创性工作，就把型的素数称为“梅森素数”，记为.几个年来，人类仅发现51个梅森素数，由于这种素数珍奇而迷人，因此被人们答为“数海明珠”.已知第7个梅森素数，第8个梅森素数，则约等于（参考数据：）（????）

A．17.1 B．8.4 C．6.6 D．3.6

11．（22·23·唐山·二模）深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，以神经网络为出发点．在训练神经网络时，需要设置学习率来控制参数更新的速度，在模型训练初期，会使用较大的学习率进行模型优化，随着选代次数增加，学习率会逐渐进行减小，保证模型在训练后期不会有太大的波动．在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，表示衰减速度．已知某个知识衰减的学习率模型的初始学习率为0.6，衰减速度为12，且当训练迭代轮数为12时，学习率衰减为0.3，则学习率衰减到0.1以下（不含0.1）所需的训练选代轮数至少为（????）（参考数据：）

A．31 B．32 C．33 D．34

12．（22·23·德州·三模）2023年1月底，人工智能研究公司OpenAI发布的名为“ChatGPT”的人工智能聊天程序进入中国，迅速以其极高的智能化水平引起国内关注．深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.8，衰减速度为12，且当训练迭代轮数为12时，学习率衰减为0.5．则学习率衰减到0.4以下（不含0.4）所需的训练迭代轮数至少为（参考数据：）（????）

A．16 B．1