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高等数学下册教案

目录多元函数微分学重积分及其应用曲线积分与曲面积分无穷级数微分方程初步空间解析几何与向量代数

01多元函数微分学Chapter

多元函数定义从实数集到实数集的映射，其中自变量和因变量均为多元。多元函数的图形通过空间直角坐标系表示多元函数的图形。多元函数的性质包括有界性、单调性、周期性、奇偶性等。多元函数概念及性质导数的定义对多元函数中的某一个变量求导数，其他变量视为常数。全微分的定义多元函数在一点处的全增量可以表示为各个自变量的偏增量与对应偏导数的乘积之和。偏导数的几何意义表示函数在某一点处对某一方向的变化率。全微分的几何意义表示函数在某一点附近的变化量。偏导数与全微分

在闭区域上连续的函数一定存在最大值和最小值，通过比较极值和边界点上的函数值来确定。极值点处的一阶偏导数等于零。在多元函数的定义域内，存在一个邻域，使得在该邻域内函数值均大于或小于该点的函数值。通过二阶偏导数判断极值的存在性和类型（极大值、极小值、鞍点）。极值的必要条件极值的定义极值的充分条件最值的求法多元函数极值与最值

方向导数的计算通过偏导数和方向余弦来计算方向导数。梯度的几何意义表示函数在某一点处的变化率和变化方向。梯度的定义梯度是一个向量，其方向是函数在该点处增长最快的方向，大小是该方向的方向导数。方向导数的定义多元函数在一点处沿某一方向的变化率。方向导数与梯度

02重积分及其应用Chapter

设$f(x,y)$是定义在有界闭区域$D$上的有界函数，将区域$D$任意分成$n$个小闭区域$Deltasigma_1,Deltasigma_2,ldots,Deltasigma_n$，在每个$Deltasigma_i$上任取一点$(xi_i,eta_i)$，作乘积$f(xi_i,eta_i)Deltasigma_i$，并作和$sum_{i=1}^{n}f(xi_i,eta_i)Deltasigma_i$。如果当各小闭区域的直径中的最大值$lambdarightarrow0$时，这和的极限总存在，则称此极限为函数$f(x,y)$在闭区域$D$上的二重积分。二重积分具有线性性、可加性、保号性、绝对值不等式等性质。二重积分定义二重积分性质二重积分概念与性质

03利用换元法计算二重积分对于一些复杂的被积函数或积分区域，可以通过适当的变量代换将其化为简单的形式进行计算。01利用直角坐标计算二重积分将二重积分化为累次积分进行计算，即先对$y$积分，再对$x$积分。02利用极坐标计算二重积分当积分区域为圆域或环域时，利用极坐标变换可以简化计算。二重积分计算方法

设$f(x,y,z)$是空间有界闭区域$Omega$上的有界函数，将$Omega$任意分成$n$个小闭区域$DeltaV_1,DeltaV_2,ldots,DeltaV_n$，在每个$DeltaV_i$上任取一点$(xi_i,eta_i,zeta_i)$，作乘积$f(xi_i,eta_i,zeta_i)DeltaV_i$，并作和$sum_{i=1}^{n}f(xi_i,eta_i,zeta_i)DeltaV_i$。如果当各小闭区域的直径中的最大值$lambdarightarrow0$时，这和的极限总存在，则称此极限为函数$f(x,y,z)$在闭区域$Omega$上的三重积分。三重积分的计算可以通过化为累次积分进行，即先对$z$积分，再对$y$积分，最后对$x$积分。也可以根据具体情况选择适当的坐标系（如柱面坐标、球面坐标等）进行简化计算。三重积分定义三重积分计算方法三重积分概念与计算

重积分在几何上的应用利用重积分可以计算平面图形的面积、空间立体的体积以及曲面的面积等。重积分在物理上的应用重积分在物理学中有广泛的应用，如计算质心、转动惯量、引力、电磁学中的场强和电势等。此外，在概率论和数理统计中，重积分也用于计算多维随机变量的概率密度和分布函数等。重积分在物理中应用

03曲线积分与曲面积分Chapter

对弧长曲线积分的基本概念与性质理解对弧长曲线积分的定义、几何意义和基本性质，掌握计算对弧长曲线积分的方法。对坐标曲线积分的基本概念与性质理解对坐标曲线积分的定义、几何意义和基本性质，掌握计算对坐标曲线积分的方法。两类曲线积分之间的关系理解两类曲线积分之间的联系和区别，能够相互转化并计算。对弧长曲线积分和对坐标曲线积分

格林公式及其应用格林公式的基本内容理解格林公式的定义、几何意义和适用条件，掌握格林公式的证明方法。格林公式的应用掌握利用格林公式计算平面区域上的二重积分的方法，了解格林公式在物理学和工程学中的应用。

对面积曲面积分的基本概念与性质01理解对面积曲面积分的定义、几何意义和基本性质，掌握计算对面积曲面积分的方法。对