正方形背景下常考查的小几何.pdf

正方形背景下常考查的小几何

一、正方形内有直角（已知或者可证）时

1.十字架（两端点发出、一端点发出与非端点发出）

2.双中点（十字架与中点问题相结合）

3.一线三垂直

4.四点共圆

二、对角线（一条对角线与两条对角线）

三、半角（已知或者可证）

四、翻折（沿着中点翻折与翻折直角梯形）

1

一、当正方形内有直角时

该直角指的是已知条件或者可通过已知条件求证（看起来是直角且后

续可证出）可得，通常我们应该至少联想到以下四种基本图形或者处

理方法。

1.十字架（两端点发出、一端点发出与非端点发出）

2.双中点（十字架与中点问题相结合）

3.一线三垂直

4.四点共圆

2

1.“十字架结构”常考查在正方形和矩形背景下，正方形中考查较多。

矩形中可用正方形中的处理思路来理解，基本是正方形中有全等而矩

形中有相似，结论略有不同。注意做题时去仔细体会和总结。

当十字架结构在正方形背景下

思考1：如图，在正方形ABCD中，若从①DF⊥AE；②AEDF；③BEAF

等中任意选取一个作为已知条件，可以得到什么结论？

思考2：如图，在正方形ABCD中，若从①GF⊥AE，②AEGF等中任意

选取一个作为已知条件，可以怎么处理，会得到什么结论？

3

思考3：如图，在正方形ABCD中，若从①GF⊥HE，②HEGF等中任意

选取一个作为已知条件，可以怎么处理，会得到什么结论？如果点P

是正方形ABCD的中心呢？

思考4：在正方形ABCD中，F、G、E、H分别为AB、CD、BC、AD边上

的点，若HEGF，则HE与GF是否垂直，若不是，请画出反例。

4

拓展：当十字架结构在矩形背景下

正方形是一种特殊的矩形，那么矩形中的十字架可以尝试用正方形背

景下的十字架结构理解处理。

思考：

如图，在矩形ABCD中，AB＝m，AD＝n，在AD上有一点E，若CE⊥BD，

则CE和BD之间有什么数量关系？

如图，一般情况，在矩形ABCD中，E、F、G、H分别为AD、BC、AB、

CD边上的点，EF和GH交于点P，当EF⊥GH时，一般可以怎么处理

呢？

在矩形ABCD中，EF和GH交于点P，当EF⊥GH时，为什么要确定E、

F、G、H所在的边？试试举个例子。

5

拓展：当十字架结构在直角三角形和其他四边形背景下

直角三角形可以看成是连接矩形对角线后等分成的图形，所以矩形的

结论可沿用至直角三角形内。同样的，一般的四边形也可以补成矩形，

尝试用矩形的思路处理。

思考：

如图，在Rt△ACB中，AC＝4，BC＝3，点D为AC上一点，连接BD，

E为AB上一点，CE⊥BD，当AD＝CD时，求AE的长。

如图，把边长为AB＝22，BC＝4且∠B＝45°的平行四边形ABCD对

折，使点B和D重合，求折痕MN的长。

6

拓展：等边三角形内部的类十字架结构

思考：如图，等边三角形ABC，D、E分别为边AB和AC上一点，连

接CD和BE交于点F，CF=2，AD=1.8，求EF的长度。

那么关于等边三角形内部的类十字架结构你能总结出什么结论呢？

7

真题练习

1．如图，将一边长为12的正方形纸片ABCD的顶点A折叠至边上的点E，使DE5，

DC

PQPQ

若折痕为，则的长为

2．如图，正方形中，点、分别在边，上，于点．若，

ABCDEFCDADBECFGBC4

AF1，则的长为

CE