2025年证明三角形全等是初中几何的基础和重点.pdfVIP

乐民之乐者，民亦乐其乐；忧民之忧者，民亦忧其忧。——《孟子》

证明三角形全等是初中几何的基础和重

点，也是中考必考知识点之一。下面介

绍证明三角形全等时常用的辅助线作法

辅助线作法一：中线倍长

三角形问题中涉及中线（中点）时，将

三角形中线延长一倍，构造全等三角形

是常用的解题思路

例1如图所示，在△ABC中，AD为BC

边上的中线，E为AC上一点，BE与AD

交于点F，若AE＝EF，求证：AC＝BF.

志不强者智不达，言不信者行不果。——墨翟

例2如图所示，△ABC（AB≠AC）中，

点D、E在BC上，且DE＝EC，过D作

DF∥BA交AE于点F，DF＝AC.求证：

AE平分∠BAC.

例3如图，△ABC中，D为BC的中点，

E、F分别是AB、AC上的点，且DE⊥

DF．求证：BE＋CF＞EF．

辅助线作法二：截长补短

一般地，当所证结论为线段的和、差关

系，且这两条线段不在同一直线上时，

吾日三省乎吾身。为人谋而不忠乎?与朋友交而不信乎?传不习乎?——《论语》

通常可以考虑用截长补短的办法：或在

长线段上截取一部分使之与短线段相等；

或将短线段延长使其与长线段相等．

例1如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠BAC、

∠BCA的平分线AD、CE交于点O，猜

想OE与OD的大小关系和AC与AE、

CD的关系，并说出你的理由．

其身正，不令而行；其身不正，虽令不从。——《论语》

例2如图所示，在△ABC中，AC＝BC，

∠ACB＝90°，AD平分∠CAB．求证：

AC＋CD＝AB．

ABCDEBC

例3如图，在正方形中，为

AFDAECDF

上一点，平分∠交于点．求

证：AE＝BE＋DF

辅助线作法三：利用角的平分线对称构

造全等

当题目中涉及角平分线时，在证明全等

过程中不仅提供了两个相等的角，还有

一条公共边，利用角的平分线在角的两

君子忧道不忧贫。——孔丘

边上截取相等的线段，或向两边作垂线，

对称构造出全等三角形是常用的证明方

法．【模型举例】

例1如图所示，AD平分∠BAC，AB＞

AC，BD＝CD．求证：∠B＋∠C＝180°．

例2如图，已知BM，CN是△ABC的两

条角平分线，相交于点P．求证：P点也

在∠BAC的角平分线上．

百川东到海，何时复西归?少壮不努力，老大徒伤悲。——汉乐府

例3如图所示，在△ABC中，AD平分∠

BAC，DG⊥BC于G且平分BC，DE⊥

AB于E，DF⊥AC的延长线于F．（1）

说明BE＝CF的理由；（2）如果AB＝

a，AC＝b，求AE、BE的长．