高中数学学案 　正弦、余弦定理的综合应用.docxVIP

第二课时正弦、余弦定理的综合应用

课标要求1.掌握正弦、余弦定理及其变形，并能运用两个定理解三角形.2.能运用正弦、余弦定理解决某些与测量、几何计算有关的问题.

1.思考在△ABC中，当b2＋c2－a2＞0时，这个三角形一定是锐角三角形吗？

提示不一定.由b2＋c2＞a2只能得到角A为锐角.

2.填空(1)正弦定理及常见变形

①eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R(其中R是△ABC外接圆的半径)；

②a＝eq\f(bsinA,sinB)＝eq\f(csinA,sinC)＝2RsinA；

③sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R).

(2)余弦定理及常见变形

①a2＝b2＋c2－2bccos__A，

b2＝a2＋c2－2accos__B，

c2＝a2＋b2－2abcos__C；

②cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)，

cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)，

cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab).

温馨提醒有关三角形的隐含条件

(1)由A＋B＋C＝180°可得

sin(A＋B)＝sinC，cos(A＋B)＝－cosC，

(2)由大边对大角可得sinA＞sinB?A＞B.

(3)由锐角△ABC可得任意两内角之和大于eq\f(π,2)，进而可得sinA＞cosB.

3.做一做如果将直角三角形的三边增加同样的长度，则新三角形的形状是()

A.锐角三角形 B.直角三角形

C.钝角三角形 D.由增加的长度确定

答案A

解析设原直角三角形三边为a，b，c，

且a2＋b2＝c2，

增加的长度为x，则新三角形的三边长分别为a＋x，b＋x，c＋x，

且c＋x所对的角最大.

∵(a＋x)2＋(b＋x)2－(c＋x)2＝a2＋b2＋2x2＋2(a＋b)x－c2－2cx－x2＝2(a＋b－c)x＋x20，

∴c＋x所对的最大角为锐角，

∴新三角形为锐角三角形.

题型一三角形、四边形中几何量的计算

例1某市欲建一个圆形公园，现规划设立A，B，C，D四个出入口(在圆周上)，并以直路顺次连通，其中A，B，C的位置已确定.已知AB＝2，BC＝6，∠ABC＝θ，如图所示.

(1)若DC＝DA＝4，求四边形ABCD的面积；

(2)若圆形公园的面积为eq\f(28,3)π，求cosθ的值.

解(1)∵∠ADC＋∠ABC＝π，

∴cos∠ADC＝－cosθ.

连接AC.在△ABC和△ADC中分别使用余弦定理，可得

AC2＝22＋62－2×2×6×cosθ

＝42＋42－2×4×4×(－cosθ)，

解得cosθ＝eq\f(1,7)，

∴sin∠ADC＝sinθ＝eq\f(4\r(3),7)，

∴四边形ABCD的面积S＝S△ABC＋S△ADC

＝eq\f(1,2)(BA·BC＋DA·DC)sinθ

＝eq\f(1,2)(2×6＋4×4)×eq\f(4\r(3),7)＝8eq\r(3).

(2)∵圆形公园的面积为eq\f(28π,3)，

∴圆形公园的半径R＝eq\f(2\r(21),3).

在△ABC中，由正弦定理，

可知AC＝2Rsinθ＝eq\f(4\r(21),3)sinθ.

由余弦定理可知AC2＝22＋62－2×2×6×cosθ＝40－24cosθ，

∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4\r(21),3)sinθ))eq\s\up12(2)＝40－24cosθ，

化简得14cos2θ－9cosθ＋1＝0，

解得cosθ＝eq\f(1,2)或cosθ＝eq\f(1,7).

思维升华(1)四边形问题常分割成三角形，以便利用正、余弦定理解决问题.

(2)多个三角形时，要结合条件注意利用三角形间的联系.有时要依次求解多个三角形.

训练1在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，A＝45°，AB＝2，BD＝5.

(1)求cos∠ADB；

(2)若DC＝2eq\r(2)，求BC.

解(1)在△ABD中，由正弦定理得eq\f(BD,sinA)＝eq\f(AB,sin∠ADB)，即eq\f(5,sin45°)＝eq\f(2,sin∠ADB)，

所以sin∠ADB＝eq\f(\r(2),5).

由题设知∠ADB90°，

所以cos∠ADB＝eq\r(1－\f(2,25))＝eq\f(\r(23),5).

(2)由题设及(1)知cos∠BDC＝sin∠ADB＝eq\f(\r(2),5).

在△BCD中，由余弦定理得

BC2＝BD2＋DC2－2