高中数学学案 　正弦定理(二).docxVIP

第2课时正弦定理(二)

[学习目标]1.熟记并能应用正弦定理的有关变形公式解决三角形中的问题.2.能根据条件判断三角形解的个数和形状.3.能利用正弦定理、三角恒等变换求解或证明有关问题．

一、三角形解的个数的判断

问题1已知三角形的两角和任意一边，求另两边和另一角，三角形的解是否唯一确定？

提示三角形被唯一确定，有唯一解．

问题2已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，三角形的解是否唯一确定？

提示三角形不能被唯一确定，可能出现两解的情况．

知识梳理

现以已知a，b和A解三角形为例，从两个角度予以说明．

(1)代数角度：

由正弦定理得sinB＝eq\f(bsinA,a)，

①若eq\f(bsinA,a)1，则满足条件的三角形个数为0，即无解．

②若eq\f(bsinA,a)＝1，则满足条件的三角形个数为1，即一解．

③若eq\f(bsinA,a)1，则满足条件的三角形个数为1或2.

(2)几何角度：

图形

关系式

解的个数

A为锐角

①a＝bsinA；

②a≥b

一解

bsinAab

两解

absinA

无解

A为钝角或直角

ab

一解

a≤b

无解

例1已知下列各三角形中的两边及其一边的对角，判断三角形是否有解，若有解，则解三角形．

(1)a＝10，b＝20，A＝80°；

(2)a＝2eq\r(3)，b＝6，A＝30°.

解(1)a＝10，b＝20，ab，A＝80°90°，

∵bsinA＝20sin80°20sin60°＝10eq\r(3)10，

∴absinA，∴本题无解．

(2)a＝2eq\r(3)，b＝6，ab，A＝30°90°，

∵bsinA＝6sin30°＝3，∴absinA，

即bsinAab，∴本题有两解．

由正弦定理得sinB＝eq\f(bsinA,a)＝eq\f(6sin30°,2\r(3))＝eq\f(\r(3),2)，

又∵0°B150°，

∴B＝60°或B＝120°.

当B＝60°时，C＝90°，c＝eq\f(asinC,sinA)＝eq\f(2\r(3)sin90°,sin30°)＝4eq\r(3)；

当B＝120°时，C＝30°，c＝eq\f(asinC,sinA)＝eq\f(2\r(3)sin30°,sin30°)＝2eq\r(3).

∴当B＝60°时，C＝90°，c＝4eq\r(3)；

当B＝120°时，C＝30°，c＝2eq\r(3).

反思感悟判断三角形解的情况

先判断角，若有一个为钝角，则有一解或无解；若无钝角，则有一解、两解或无解，然后再由大边对大角来具体判断解的情况．

跟踪训练1根据下列条件，判断三角形是否有解，若有解，有几个解：

(1)a＝eq\r(3)，b＝eq\r(2)，A＝120°；

(2)a＝60，b＝48，B＝60°；

(3)a＝7，b＝5，A＝80°；

(4)a＝14，b＝16，A＝45°.

解方法一(1)∵A90°且ab，

∴有一解，即这样的三角形是唯一的．

(2)∵asinB＝60×eq\f(\r(3),2)＝30eq\r(3)，b＝48，

∴basinB，无解，

即不存在这样的三角形．

(3)∵a＝7，b＝5，A＝80°，∴ab，有一解，即这样的三角形是唯一的．

(4)∵bsinA＝16×eq\f(\r(2),2)＝8eq\r(2)，a＝14，

∴bsinAab，有两解，即符合条件的三角形有两个．

方法二(1)∵A＝120°，由eq\f(b,sinB)＝eq\f(a,sinA)，

得sinB＝eq\f(bsinA,a)＝eq\f(\r(2)×\f(\r(3),2),\r(3))＝eq\f(\r(2),2)，

∵AB，∴B＝45°.

∴有一解，即这样的三角形是唯一的．

(2)由eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，得sinA＝eq\f(asinB,b)＝eq\f(60×\f(\r(3),2),48)＝eq\f(5\r(3),8)1，与0sinA≤1矛盾，

∴无解，即不存在这样的三角形．

(3)由eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，

得sinB＝eq\f(bsinA,a)＝eq\f(5sin80°,7)1.

又∵ba，∴B80°，

∴有一解，即这样的三角形是唯一的．

(4)由eq\f(14,sin45°)＝eq\f(16,sinB)，得sinB＝eq\f(4\r(2),7)1.

又ba，∴BA，∴B有一锐角值和一钝角值，

即有两解，即符合条件的三角形有两个．

二、利用正弦定理判断三角形的形状

知识梳理

利用正弦定理判断三角形的形状求解证