高中数学学案 　等比数列的概念及通项公式.docx

3.1等比数列的概念及其通项公式

第1课时等比数列的概念及通项公式

[学习目标]1.通过实例，理解等比数列的概念并掌握等比数列的判定方法.2.掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程.3.能解决与等比数列的通项公式有关的运算．

导语

有位印度教宰相向国王推荐了一种在当时尚无人知晓的游戏．国王对这种新奇的游戏很快就产生了浓厚的兴趣，他便问那位宰相，作为对他忠心的奖赏，他想要得到什么赏赐．宰相开口说道：“请您在棋盘上的第一个格子上放1粒麦粒，第二个格子上放2粒麦粒，第三个格子上放4粒麦粒，第四个格子上放8粒麦粒……即每一个格子中放的麦粒数目都必须是前一个格子中麦粒数目的两倍，直到最后第64格放满为止，这样我就十分满足了．”“好吧！”国王哈哈大笑，慷慨地答应了宰相的这个请求．显然64格的麦粒数可以组成一个数列：1,2,22,23，24，…，263，这就是我们今天要探讨的等比数列．

一、等比数列的概念

问题1观察下面几个数列：

(1)1，eq\f(1,2)，eq\f(1,4)，eq\f(1,8)，eq\f(1,16)，….

(2)1，－1,1，－1,1，….

(3)eq\f(1,2)，－1,2，－4,8，….

上面几组数列是等差数列吗？如果要研究每个数列中相邻两项的关系，你会发现有怎样的共同特点？

提示都不是等差数列，不符合等差数列的定义；从第2项起，每一项与前一项的比都等于同一个非零常数．

知识梳理

等比数列的定义

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比值都是同一个常数，那么称这样的数列为等比数列，称这个常数为等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0)．

注意点：

(1)等比数列定义的符号语言：eq\f(an＋1,an)＝q(q为常数且q≠0，n∈N＋)．

(2)定义中“比值是同一个常数”，不能理解成“比值是一个常数”．

(3)公比可以是正数，也可以是负数，但是不能为0.

例1(1)(多选)下列各组数成等比数列的是()

A．1，－2,4，－8 B．－eq\r(2)，2，－2eq\r(2)，4

C．x，x2，x3，x4 D．a－1，a－2，a－3，a－4

答案ABD

解析由等比数列的定义知，ABD是等比数列，C中当x＝0时，不是等比数列．

(2)以下数列中是等比数列的有________．(填序号)

①数列1,2,6,18，…；

②数列{an}中，已知eq\f(a2,a1)＝2，eq\f(a3,a2)＝2；

③常数列a，a，a，…，a，…；

④数列{an}中，eq\f(an＋1,an)＝q(q≠0)，其中n∈N＋.

答案④

解析在数列①中，eq\f(2,1)≠eq\f(6,2)，则①不是等比数列；

在数列②中，不一定都满足eq\f(an＋1,an)＝2；在数列③中，若a＝0，则不是等比数列；④中数列是等比数列．

反思感悟等比数列定义的理解

(1)由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不能为零，因此q也不可能为零．

(2)要判定一个数列是否为等比数列，只需看eq\f(an＋1,an)的值是否为不为零的同一个常数，要注意分子、分母次序不能颠倒．

跟踪训练1判断下列数列是否为等比数列：

(1)1,3,32,33，…，3n－1，…；

(2)－1,1,2,4,8，…；

(3)a，－a，a，－a，….

解(1)记数列为{an}，则a1＝1，a2＝3，…，an＝3n－1，….

∵eq\f(an,an－1)＝eq\f(3n－1,3n－2)＝3(n≥2，n∈N＋)，

∴数列为等比数列，且公比为3.

(2)记数列为{an}，则a1＝－1，a2＝1，a3＝2，…，

∵eq\f(a2,a1)＝－1≠eq\f(a3,a2)＝2，

∴此数列不是等比数列．

(3)当a＝0时，数列为0,0,0，…是常数列，不是等比数列；

当a≠0时，数列为a，－a，a，－a，…是等比数列，且公比为－1.

二、等比数列的通项公式

问题2类比等差数列，你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗？

提示设一个等比数列的首项是a1，公比是q，则由定义可知eq\f(an,an－1)＝q(n∈N＋且n≥2)．

方法一an＝eq\f(an,an－1)×eq\f(an－1,an－2)×…×eq\f(a3,a2)×eq\f(a2,a1)×a1＝q×q×…×q×q×a1＝a1qn－1，

当n＝1时，上式也成立．

方法二a2＝a1q，

a3＝a2q＝(a1q)q＝a1q2，

a4＝a3q＝(a1q2)q＝a1q3，

…

由此可得an＝a1qn－1，当n＝1时，上式也成立．

知识梳理

等比数列的通项公式

若首项是a1，公比是q，则等比数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0)．

注意