高中数学学案 　椭圆简单几何性质的综合应用.DOCX

第二课时椭圆简单几何性质的综合应用

课标要求1.拓展椭圆的几何性质.2.能解决与几何性质有关的最值(范围)问题.

3.利用椭圆的几何性质解决一些简单的实际问题.

【引入】椭圆上哪一点到椭圆中心的距离最大？哪一点到椭圆中心的距离最小？让我们继续挖掘拓展椭圆的几何性质吧！

一、椭圆几何性质的拓展

探究1点P为椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)上一点，O为坐标原点，求|OP|的最大值和最小值.

提示设点P(x0，y0)，则eq\f(xeq\o\al(2,0),a2)＋eq\f(yeq\o\al(2,0),b2)＝1，

yeq\o\al(2,0)＝b2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(xeq\o\al(2,0),a2)))＝b2－eq\f(b2,a2)xeq\o\al(2,0)，

|OP|＝eq\r(xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0))＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(b2,a2)))xeq\o\al(2,0)＋b2)

＝eq\r(\f(c2,a2)xeq\o\al(2,0)＋b2)，－a≤x0≤a，

∴当x0＝0时，|OP|最小＝b，

当x0＝±a时，|OP|最大＝a.

探究2若P(x0，y0)为椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(ab0)上任一点，F1(－c，0).求|PF1|的长.

提示利用两点间的距离公式|PF1|2＝

(x0＋c)2＋yeq\o\al(2,0)＝xeq\o\al(2,0)＋2cx0＋c2＋b2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(xeq\o\al(2,0),a2)))

＝eq\f(c2,a2)xeq\o\al(2,0)＋2cx0＋a2＝eq\f(1,a2)(c2xeq\o\al(2,0)＋2a2cx0＋a4)

＝eq\f(1,a2)(cx0＋a2)2，

∴|PF1|＝eq\f(1,a)|cx0＋a2|＝|a＋ex0|＝a＋ex0.

【知识梳理】

1.椭圆上到中心的距离最小的点是短轴的两个端点，到中心的距离最大的点是长轴的两个端点.

2.焦半径公式：椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)上的点P(x0，y0)相对于左、右焦点(F1为左焦点，F2为右焦点)的焦半径分别为|PF1|＝a＋ex0，|PF2|＝a－ex0.

椭圆eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)上的点P(x0，y0)相对于下、上焦点(F1为下焦点，F2为上焦点)的焦半径分别为|PF1|＝a＋ey0，|PF2|＝a－ey0.

3.椭圆上到焦点的距离最大和最小的点分别是长轴的两个端点，最大值为a＋c，最小值为a－c.

4.O为长轴中点，短轴中点，F1F2中点.

5.P为短轴端点时，∠F1PF2最大.

6.通径长为eq\f(2b2,a).

温馨提示过原点的直线与椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)相交于A，B两点，则eq\f(2b2,a)≤|AB|≤2a.

例1已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点为F1，F2，若点P是C上的动点，证明：P为短轴端点时，∠F1PF2最大.

证明由椭圆的定义，可得|PF1|＋|PF2|＝2a，|F1F2|＝2c，

∵cos∠F1PF2＝eq\f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1|·|PF2|)

＝eq\f(（|PF1|＋|PF2|）2－2|PF1||PF2|－4c2,2|PF1||PF2|)

＝eq\f(4（a2－c2）,2|PF1||PF2|)－1＝eq\f(4b2,2|PF1||PF2|)－1，

∵|PF1|＋|PF2|＝2a≥2eq\r(|PF1||PF2|)，

∴|PF1||PF2|≤a2，

∴eq\f(4b2,2|PF1||PF2|)－1≥eq\f(4b2,2a2)－1，当且仅当|PF1|＝|PF2|时等号成立，

即当P为短轴端点时，∠F1PF2最大.

思维升华当P为椭圆短轴端点时，∠F1PF2最大.

训练1若点P是椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1上的一动点，F1，F2是椭圆的两个焦点，求cos∠F1PF2的最小值.

解由椭圆的定义，可得|PF1|＋|PF2|＝6，

|F1F2|＝2eq\r(5)，

∵cos∠F1PF2＝eq\f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1|·|PF2|)

＝eq\f(62－（2