高中数学学案 　直线的倾斜角和斜率 (2).DOCX

§1直线与直线的方程

1.1一次函数的图象与直线的方程

1.2直线的倾斜角、斜率及其关系

第一课时直线的倾斜角和斜率

课标要求1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程.

3.掌握过两点的直线斜率的计算公式.

【引入】在日常生活中，用坡度来刻画道路的倾斜程度，坡度即坡面的铅直高度和水平长度的比，这个比值反映了物体在水平方向的改变量和铅直方向的改变量的联系.

如图，一辆汽车沿某条道路从A点前进到B点，在水平方向前进的距离为AD，竖直方向上升的高度为DB(如果是下降，则DB的值为负实数)，则坡度k＝eq\f(上升高度,水平距离)＝eq\f(DB,AD).若k＞0，则表示上坡，若k＜0，则表示下坡，为了实际应用与安全，在道路铺设时常要规划坡度的大小.那么“坡度”是如何来刻画道路的倾斜程度的呢？

一、直线的倾斜角

探究1在平面上，确定一条直线的几何要素是什么？

提示两个点，或一个点和一个方向.

探究2在平面直角坐标系中，经过原点、与x轴正方向的夹角为eq\f(π,3)的直线有几条？

提示有且仅有一条.

【知识梳理】

在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把x轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l首次重合时所成的角，称为直线l的倾斜角.通常倾斜角用α表示.当直线l和x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.因此，直线的倾斜角α的取值范围为[0，π).

温馨提示(1)每一条直线都有唯一的倾斜角.

(2)直线的倾斜角刻画了直线的倾斜程度，倾斜角越接近eq\f(π,2)，倾斜程度越大.

例1(1)(多选)设直线l与x轴交于点A，其倾斜角为α，直线l绕点A顺时针旋转45°后得直线l1，有下列四个值可能是l1的倾斜角的是()

A.α＋45° B.α＋135°

C.α－45° D.135°－α

(2)已知直线l向上的方向与y轴正向所成的角为30°，则直线l的倾斜角为________.

答案(1)BC(2)60°或120°

解析(1)直线l绕点A顺时针旋转45°后得直线l1，当α≥45°时，如图(1)所示，直线l1的倾斜角为α－45°；当0°≤α45°时，如图(2)所示，直线l1的倾斜角为180°－(45°－α)＝135°＋α，故选BC.

(2)有两种情况：①如图(1)，直线l向上的方向与x轴正向所成的角为60°，即直线l的倾斜角为60°.

②如图(2)，直线l向上的方向与x轴正向所成的角为120°，即直线l的倾斜角为120°.

思维升华(1)直线的倾斜角主要是根据定义来求，关键是根据题意画出示意图，找准倾斜角.有时要根据题意分类讨论.

(2)结合图形求倾斜角时，应注意倾斜角的范围以及平面几何知识的应用.

训练1(1)已知直线l的倾斜角为θ－25°，则角θ的取值范围为()

A.[25°，155°) B.[－25°，155°)

C.[0°，180°) D.[25°，205°)

(2)如图，已知直线l1的倾斜角是150°，l2⊥l1，垂足为B.l1，l2与x轴分别相交于点C，A，l3平分∠BAC，则l3的倾斜角为________.

答案(1)D(2)30°

解析(1)因为直线倾斜角的取值范围是[0°，180°)，所以由θ－25°∈[0°，180°)，得θ∈[25°，205°)，故选D.

(2)因为直线l1的倾斜角为150°，

所以∠BCA＝30°.

又因为l2⊥l1，所以∠CBA＝90°，

所以∠BAC＝60°.

又因为l3平分∠BAC，

所以l3的倾斜角为eq\f(1,2)×60°＝30°.

二、直线的斜率

探究3坡度是用来刻画道路的倾斜程度的，从数学角度如何理解？

提示高度的平均变化率.

探究4如图，直线l(不垂直于x轴)上两个不同点P1(x1，y1)，P2(x2，y2).记Δx＝x2－x1(Δx≠0)，Δy＝y2－y1.

在直线l上点P1平移到点P2，则高度的平均变化率是多少？

提示eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(y2－y1,x2－x1).

【知识梳理】

由上图可知，k＝eq\f(Δy,Δx)的大小与两点P1，P2在直线上的位置无关，称k＝eq\f(y2－y1,x2－x1)(其中x1≠x2)，为经过不同两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线l的斜率.

温馨提示(1)当直线l与x轴垂直时，直线的斜率不存在；直线的斜率不存在时，直线的倾斜角为eq\f(π,2).

(2)若直线l不与x轴垂直，则它的斜率存在且唯一.因此，我们常用斜率来表示直线的倾斜程度.

例2满足下列条件的直线的斜率是否存在，若存在，求其斜率.

(1)经过点A(