高中数学学案 　几个基本函数的导数.docx

1.2.1几个基本函数的导数

[学习目标]1.能根据定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝eq\f(1,x)，y＝eq\r(x)的导数.2.能利用给出的基本初等函数的求导公式求简单函数的导数．

导语

高铁是目前非常受欢迎的交通工具，既低碳又快捷．设一高铁走过的路程s关于时间t的函数为s＝f(t)，求它的瞬时速度，即f(t)的导数．根据导数的定义，运算比较复杂，是否有更好的求导方法呢？而且，对于y＝sinx，y＝lnx等很难运用定义求导的函数，是否有更简便的求导方法呢？

一、基本初等函数的求导公式

问题1回顾之前所学，你学过哪些基本初等函数？

提示幂函数、指数函数、对数函数、三角函数．

问题2如何求常数函数f(x)＝c的导数？

提示eq\f(f?x＋d?－f?x?,d)＝eq\f(c－c,d)＝eq\f(0,d)＝0，

当d→0时，0当然还是0，

所以f′(x)＝(c)′＝0，即(c)′＝0.

我们通过同样的方法容易得到几个常见的幂函数的导数：

f(x)＝x?f′(x)＝1＝x1－1；

f(x)＝x2?f′(x)＝2x＝2x2－1；

f(x)＝x3?f′(x)＝3x2＝3x3－1；

f(x)＝eq\f(1,x)＝x－1?f′(x)＝－x－2＝－x－1－1；

f(x)＝eq\r(x)＝?f′(x)＝＝.

通过观察上面几个式子，我们发现了这几个幂函数求导的规律，即(xk)′＝kxk－1

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k＝1，2，3，－1，\f(1,2))).

知识梳理

基本初等函数的求导公式

原函数

导函数

f(x)＝c(c为常数)

f′(x)＝0

f(x)＝xα(α≠0)

f′(x)＝αxα－1

f(x)＝ex

f′(x)＝ex

f(x)＝ax(a0，a≠1)

f′(x)＝axlna

f(x)＝lnx

f′(x)＝eq\f(1,x)

f(x)＝logax(a0，a≠1)

f′(x)＝eq\f(1,xlna)

f(x)＝sinx

f′(x)＝cosx

f(x)＝cosx

f′(x)＝－sinx

f(x)＝tanx

f′(x)＝eq\f(1,cos2x)

注意点：

对于根式f(x)＝eq\r(n,xm)，要先转化为f(x)＝，所以f′(x)＝.

例1求下列函数的导数：

(1)y＝x0(x≠0)；

(2)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x；

(3)y＝lgx；

(4)y＝eq\f(x2,\r(x))；

(5)y＝2cos2eq\f(x,2)－1.

解(1)y′＝0.

(2)y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))xln?eq\f(1,3)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))xln3.

(3)y′＝eq\f(1,xln10).

(4)∵y＝eq\f(x2,\r(x))＝，

∴y′＝＝eq\f(3,2)eq\r(x).

(5)∵y＝2cos2eq\f(x,2)－1＝cosx，

∴y′＝(cosx)′＝－sinx.

反思感悟(1)若所求函数符合基本初等函数的导数公式，则直接利用公式求导．

(2)若给出的函数解析式不符合基本初等函数的导数公式，则通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导．

(3)要特别注意“eq\f(1,x)与lnx”，“ax与logax”，“sinx与cosx”的导数的区别．

跟踪训练1求下列函数的导数：

(1)y＝2023；

(2)y＝eq\f(1,\r(3,x2))；

(3)y＝4x；

(4)y＝log3x.

解(1)因为y＝2023，

所以y′＝(2023)′＝0.

(2)因为y＝eq\f(1,\r(3,x2))＝，

所以y′＝.

(3)因为y＝4x，

所以y′＝4xln4.

(4)因为y＝log3x，

所以y′＝eq\f(1,xln3).

二、利用导数研究曲线的切线方程

例2已知曲线y＝lnx，点P(e,1)是曲线上一点，求曲线在点P处的切线方程．

解∵y′＝eq\f(1,x)，

∴k＝eq\f(1,e)，

∴切线方程为y－1＝eq\f(1,e)(x－e)，即x－ey＝0.

延伸探究

1．已知y＝kx＋1是曲线y＝lnx的一条切线，则k＝.

答案eq\f(1,e2)

解析设切点坐标为(x0，y0)，

由题意得y′＝eq\f(1,x)，

∴k＝eq\f(1,x0)，

又y0＝kx0＋1，y0＝lnx0，

解得y0＝2，x0＝e2，∴k＝eq\f(1,e2).

2．求曲线y＝ln