平面向量的数量积及平面向量的应用举例.ppt

解决向量垂直问题，常用向量垂直的充要条件即非零向量a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0.0102备选例题(教师用书独具)logo例(2012·宝鸡调研)已知A＝(Cosα，sinα)，B＝(Cosβ，sinβ)(0αβπ)．(1)求证：A＋B与A－B互相垂直；(2)若kA＋B与A－kB的模相等，求β－α.(其中k为非零实数)【解】证明：(1)∵(A＋B)·(A－B)＝A2－B2＝|A|2－|B|201＝(Cos2α＋sin2α)－(Cos2β＋sin2β)＝0，02∴A＋B与A－B互相垂直．03变式训练平面向量的应用例3考点3【解】法一：B＋C＝(Cosβ－1，sinβ)，则|B＋C|2＝(Cosβ－1)2＋sin2β＝2(1－Cosβ)．∵－1≤Cosβ≤1，∴0≤|B＋C|2≤4，即0≤|B＋C|≤2.当Cosβ＝－1时，有|B＋C|＝2，∴向量B＋C的长度的最大值为2.03所以向量B＋C的长度的最大值为2.02当Cosβ＝－1时，有B＋C＝(－2,0)，即|B＋C|＝2，01∵|B|＝1，|C|＝1，|B＋C|≤|B|＋|C|＝2.04法一：由已知可得B＋C＝(Cosβ－1，sinβ)，A·(B＋C)法二：＝CosαCosβ＋sinαsinβ－Cosα＝Cos(α－β)－Cosα.∵A⊥(B＋C)，∴A·(B＋C)＝0，即Cos(α－β)＝Cosα.01∵A⊥(B＋C)，∴A·(B＋C)＝0，即Cosβ＋sinβ＝1.03解得Cosβ＝0或Cosβ＝1.经检验，Cosβ＝0或Cosβ＝1即为所求．02∴sinβ＝1－Cosβ，平方后化简得Cosβ(Cosβ－1)＝0，栏目导引教材回扣夯实双基考点探究讲练互动知能演练轻松闯关考向瞭望把脉高考第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入栏目导引教材回扣夯实双基考点探究讲练互动知能演练轻松闯关考向瞭望把脉高考第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入§4.3平面向量的数量积及平面向量的应用举例教材回扣夯实双基基础梳理1．两个向量的夹角(1)夹角的定义定义范围已知两个_______向量A，B，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ叫作向量A与B的夹角(如图)．向量夹角θ的范围是[0°，180°]，当θ＝__________时，两向量共线；当θ＝______时，两向量垂直，记作A⊥B(规定零向量可与任一向量垂直).非零0°或180°90°射影的定义设θ是A与B的夹角，则|B|Cosθ叫作B在A方向上的射影．|A|Cosθ叫作A在B方向上的射影．射影是一个实数，不是线段的长度，也不是向量．当θ∈[0°，90°)时，它是正值；当θ∈(90°，180°]时，它是负值；当____________时，它是0.θ＝90°思考探究提示：不正确．求两个向量的夹角时，两向量起点应相同，向量A与B的夹角为π－∠ABC.平面向量的数量积向量的数量积的定义已知两个向量A和B，它们的夹角为θ，把|A||B|Cosθ叫作A与B的数量积(或内积)，记作A·B，即A·B＝|A||B|Cosθ.向量数量积的运算律给定向量A，B，C和实数λ，有A·B＝B·A；(交换律)(λA)·B＝λ(A·B)＝A·(λB)；(数乘结合律)A·(B＋C)＝A·B＋A·C.(分配律)平面向量数量积的性质已知非零向量A＝(A1，A2)，B＝(B1，B2)a1b1＋a2b2＝0课前热身(教材习题改编)已知A＝(－1,2)，B＝(2，－1)，则(A＋B)·(A－B)的值为()A．0 B．10C．－10 D．5解析：选A.A＋B＝(－1,2)＋(2，－1)＝(1,1)，A－B＝(－1,2)－(2，－1)＝(－3,3)，∴(A＋B)·(A－B)＝(1,1)·(－3,3)＝－3＋3＝0.0504020301若向量A＝(1,1)，B＝(x,2)，若A与B垂直，则x＝__________.解析：∵A与B垂直，∴A·B＝(1,1)·(x,2)＝x＋2＝0，∴x＝－2.答案：－2考点探究讲练互动考点突破考点1平面向量数量积的运算例1(1)(2011·高考重庆卷)已知向量A＝(1，k)，B＝(2,2)，且A＋B与A共线，那么A·B的值为()A．1 B．2C．3 D．4【名师点评】(1)求平面向量的数量积，关键在于求两向量的模和夹角．这就需要充分挖掘题目中的几何