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第五章定积分

definiteintegral

定积分和不定积分是积分学的两个

主要组成部分.

不定积分侧重于基本积分法的训练,

而定积分则完整地体现了积分思想—

一种认识问题、分析问题、解决问题的

思想方法.

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基本要求

理解定积分的定义和性质,微积分基

本定理,了解反常积分的概念,掌握用定积

分表达一些几何量与物理量(如面积、体

积、弧长、功、引力等）的方法.

第五章定积分2

第一节定积分的概念与性质

definiteintegral

定积分问题举例

*定积分的定义

*定积分的几何意义和物理意义

关于函数的可积性

*定积分的性质

小结思考题作业

定积分3

定积分的概念与性质

定积分概念也是由大量的实际问题

抽象出来的,现举两例.

1.曲边梯形的面积

求由连续曲线

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定积分的概念与性质

以直代曲

用矩形面积近似取代曲边梯形面积

（五个小矩形）（十个小矩形）

显然,小矩形越多,矩形总面积越接近曲边

梯形面积．

定积分的概念与性质

(1)分割

面积近似代替

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定积分的概念与性质

这些小矩形面积之和可作为曲边梯形

面积A的近似值.

(4)求极限为了得到A的精确值,分割无限加细,

形的面积:

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定积分的概念与性质

思想以不变代变

2.求变速直线运动的路程

设某物体作直线运动,已知速度

思路把整段时间分割成若干小段,每小段上

速度看作不变,求出各小段的路程再相加,便

得到路程的近似值,最后通过对时间的无限

细分过程求得路程的精确值．

定积分的概念与性质

(1)分割

内走过的路程.

(2)取近似

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定积分的概念与性质

上两例共同点:

二、定积分的定义1)量具有可加性,

(1)

结果形式一样

定义设函数f(x)在[a,b]上3有)界,在[a,b]中任.意插入

若干个分点

各小区间长度依次为

(2)

一点

(3)

(4)

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定积分的概念与性质

怎样的分法,也不论在小区间

只要当

极限I,称这个极限I为函数f(x)在区间[a,b]上的

定积分.记为

积分和

积分上限

数被量积式被

积分积

[a,b]积分区间函变表

达

定积分的概念与性质

注

有关;

定积分是一个数,定积分数值只依赖于被积函数

的结构和上、下限,而与积分变量的记号无关.

今后将经常利用定积分与变量记号无关性

进行推理.

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定积分的概念与性质

定积分的概念与性质

几何意义

它是介于x轴、函数f(x)的图形及两条

直线x=a,x=b之间的

在x轴上方的面积取正号;在x轴下方的面积

取负号.

定积分的概念与性质

y

例