第02讲 函数的单调性与最大（小）值 (高频考点-精讲）（解析版）.docx

第02讲函数的单调性与最大（小）值(精讲）

目录

第一部分：知识点精准记忆

第二部分：课前自我评估测试

第三部分：典型例题剖析

高频考点一：函数的单调性

角度1：求函数的单调区间

角度2：根据函数的单调性求参数

角度3：复合函数的单调性

角度4：根据函数单调性解不等式

高频考点二：函数的最大（小）值

角度1：利用函数单调性求最值

角度2：根据函数最值求参数

角度3：不等式恒成立问题

角度4：不等式有解问题

第四部分：高考真题感悟

第一部分：知

第一部分：知识点精准记忆

1、函数的单调性

（1）单调性的定义

一般地，设函数的定义域为，如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，；

①当时，都有，那么就说函数在区间上是增函数

②当时，都有，那么就说函数在区间上是减函数

（2）单调性简图：

（3）单调区间（注意先求定义域）

若函数在区间上是增函数或减函数，则称函数在这一区间上具有（严格的）单调性，区间叫做函数的单调区间．

（4）复合函数的单调性（同调增；异调减）

对于函数和，如果当时，，且在区间上和在区间上同时具有单调性，则复合函数在区间上具有单调性，并且具有这样的规律：增增(或减减)则增，增减(或减增)则减．

2、函数的最值

（1）设函数的定义域为，如果存在实数满足

①对于任意的，都有；

②存在，使得

则为最大值

（2）设函数的定义域为，如果存在实数满足

①对于任意的，都有；

②存在，使得

则为最小值

3、常用高频结论

（1）设，.

①若有或，则在闭区间上是增函数；

②若有或，则在闭区间上是减函数.此为函数单调性定义的等价形式.

（2）函数相加或相减后单调性：

设，两个函数，在区间上的单调性如下表，则在上的单调性遵循（增+增=增；减+减=减）

增

增

增

减

减

减

增

减

增

减

增

减

（3）对钩函数单调性：（，）的单调性：在和上单调递增，在和上单调递减．

（4）常见对钩函数：（），的单调性：在和上单调递增，在和上单调递减．

第二部分：课

第二部分：课前自我评估测试

1．（2022·全国·高一专题练习）下列四个函数在是增函数的为（）

A． B．

C． D．

【答案】D

对A，二次函数开口向上，对称轴为轴，在是减函数，故A不对．

对B，为一次函数，，在是减函数，故B不对．

对C，，二次函数，开口向下，对称轴为，在是增函数，故C不对．

对D，为反比例类型，，在是增函数，故D对．

故选：D

2．（2022·贵州·高二学业考试）函数的单调递增区间是（???????）

A． B．

C． D．

【答案】B

由知，函数为开口向上，对称轴为的二次函数，则单调递增区间是.

故选：B.

3．（2022·全国·高一课时练习）函数在上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是()

A．，0???????B．0，2

C．，2???????D．，2

【答案】C

由图可得，函数在处取得最小值，在处取得最大值，

故选：C

4．（2022·浙江·平湖市当湖高级中学高二阶段练习）设，则函数的最大值为______.

【答案】##0.5

二次函数是开口向下的，对称轴为，

∴当时，；

故答案为：.

5．（2022·全国·高一）已知函数f(x)＝4x＋(x＞0，a＞0)在x＝3时取得最小值，则a＝________.

【答案】36

f(x)＝4x＋(x＞0，a＞0)在(0，]上单调递减，

在(，＋∞)上单调递增，故f(x)在x＝时取得最小值，

由题意知＝3，∴a＝36.

故答案为：

第三部分：典

第三部分：典型例题剖析

高频考点一：函数的单调性

角度1：求函数的单调区间

典型例题

例题1．（2022·全国·高三专题练习）的单调增区间为（???????）

A． B． C． D．

【答案】A

由题得二次函数的图象的对称轴为，因为抛物线开口向上，

所以函数的单调增区间为.

故选：A

例题2．（2022·全国·高一专题练习）函数的单调增区间是________.

【答案】，

；

的图像是由的图像沿轴向右平移个单位，

然后沿轴向下平移一个单位得到；

而的单调增区间为，；

的单调增区间是，．

故答案为：，

角度2：根据函数的单调性求参数

典型例题

例题1．（2022·江苏·高一）已知函数在上是增函数，则实数的取值范围为（???????）

A． B． C． D．

【答案】D

函数的单调递增区间是，依题意，，

所以，即实数的取值范围是.

故选：D

例题2．（2022·湖北武汉·高一期末）已知二次函数在区间内是单调函数，则实数的取值范围是（???）

A． B．

C． D．

【答案】A

由题知，当或，即或时，满足题意.

故选：A

角度3：复合函数的单调性

典型例题

例题1．（2022·全国·高一专题练习）函数