专题15 球体外接内切综合问题小题（解析版）.docx

专题15球体外接内切综合问题小题

解题秘籍

解题秘籍

球的表面积和体积公式

球的表面积：S＝4πR2球的体积：V＝eq\f(4,3)πR3

球的切接概念

空间几何体的外接球：球心到各个顶点距离相等且等于半径的球是几何体的外接球

空间几何体的内切球：球心到各面距离相等且等于半径的球是几何体的内切球

几个与球有关的切、接常用结论

(1)正方体的棱长为a，球的半径为R，

①若球为正方体的外接球，则2R＝eq\r(3)a；

②若球为正方体的内切球，则2R＝a；

③若球与正方体的各棱相切，则2R＝eq\r(2)a.

(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝eq\r(a2＋b2＋c2).

(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.

墙角模型（三条直线两两垂直）

补形为长方体，长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝eq\r(a2＋b2＋c2).

直棱柱外接球之汉堡模型

（1）补型：补成长方体，若各个顶点在长方体的顶点上，则外接球与长方体相同

（2）作图：构造直角三角形，利用勾股定理

直三校柱内接于一球（棱柱的上下底面为直角三角形）R

底面外接圆的半径r的求法

（1）正弦定理

（2）直角三角形：半径等于斜边的一半

（3）等边三角形：半径等于三分之二高

（4）长（正）方形：半径等于对角线的一半

正棱锥类型

h-R2+

侧棱垂直与底面-垂面型

R

侧面垂直与底面-切瓜模型

如图：平面PAC⊥平面BAC,AB⊥BC(AC为小圆直径)

（1）由图知球心O必为△PAC的外心,即△PAC在大圆面上,先求出小圆面直径AC的长;

（2）在△

如图：:平面PAC⊥平面BAC

（1）确定球心O的位置,由图知P,O,H三点共线;

（2）算出小圆面半径AH=r,算出棱锥的高PH=h

（3

内切球

如图：求任意三棱雉的内切球半径(等体积法)

（1）先求出四个表面的面积和整个椎体的体积;

（2）设内切球半径为r,建立等式:VP

?

（3）解出r

结论：若棱锥的体积为V，表面积为S，则内切球的半径为.

模拟训练

模拟训练

一、单选题

1．（22·23下·湖北·二模）已知直三棱柱存在内切球，若，则该三棱柱外接球的表面积为（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】求出直三棱柱的高后可求其外接球的半径，从而可求外接球的表面积.

【详解】因为，故，

故的内切圆的半径为.

因为直三棱柱存在内切球，故直三棱柱的高即为内切球的直径.

而内切球的半径即为底面三角形内切圆的半径，故内切球的半径为1，

故直三棱柱的高为2.

将直三棱柱补成如图所示的长方体，则外接球的直径即为该长方体的体对角线，

故外接球的半径为，

故外接球的的表面积为.

故选：D.

2．（22·23·福州·二模）已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，，，则球的体积为（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】过点作平面，垂足为，结合可得为的外心，则，则，可得，进而可得，设为球心，为球的半径，结合勾股定理可得，进而求解.

【详解】过点作平面，垂足为，

因为，

所以为的外心，

则（为的外接圆半径），

则，所以，

,

设为球心，为球的半径，则，

因为，

解得，

所以球的体积为.

故选：C.

3．（22·23下·南京·二模）直角三角形中，斜边长为2，绕直角边所在直线旋转一周形成一个几何体．若该几何体外接球表面积为，则长为（????）

A． B．1 C． D．

【答案】D

【分析】设，则，依题意可得旋转后得到的几何体为圆锥，根据外接球的表面积求出球的半径，设外接球的球心为，则球心在直线上，利用勾股定理得到方程，即可求出.

【详解】设，因为，所以，

绕直角边所在直线旋转一周形成一个几何体为圆锥，设圆锥外接球的半径为，

所以，解得，

设外接球的球心为，则球心在直线上，所以，解得.

故选：D

4．（22·23·德州·三模）在四棱锥中，底面为矩形，平面，点为上靠近的三等分点，则三棱锥外接球的表面积为（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用正弦定理可得三角形的外接圆半径为，根据勾股定理即可求解外接球半径，进而可求表面积.

【详解】由题意可得

所以在三角形中，由等面积法可得,

设三角形的外接圆半径为，圆心为,则由正弦定理得，

由于平面,设三棱锥外接球的半径为,球心到平面的距离为，

过作,则，因此,

故外接球的表面积为,

故选：A

??

5．（22·23下·厦门·二模）西施壶是紫砂壶器众多款式中最经典的壶型之一，是一款非常实用的泡茶工具（如图1）．西施壶的壶身可近似看成一个球体截去上下两个相同的球缺的几何体．球缺的