高中数学一轮总复习专题一　第4讲　函数的极值、最值.docx

第4讲函数的极值、最值

[考情分析]利用导数研究函数的极值、最值是重点考查内容，多以选择题、填空题压轴考查，或以解答题的形式出现，难度中等偏上，属综合性问题．

考点一利用导数研究函数的极值

核心提炼

判断函数的极值点，主要有两点

(1)导函数f′(x)的变号零点，即为函数f(x)的极值点．

(2)利用函数f(x)的单调性可得函数的极值点．

例1(2023·海南统考)已知函数f(x)＝x＋a(2－ex)＋2(a∈R)．

(1)若函数f(x)在x＝0处的切线与直线x＋y－1＝0平行，求实数a的值；

(2)若函数f(x)的极大值不小于3a，求实数a的取值范围．

解(1)因为f(x)＝x＋a(2－ex)＋2，

则f′(x)＝1－aex，

在直线方程x＋y－1＝0中，

令x＝0，可得y＝1，

由题意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f′?0?＝1－a＝－1，,f?0?＝a＋2≠1，))解得a＝2.

(2)因为函数f(x)＝x＋a(2－ex)＋2的定义域为R，f′(x)＝1－aex.

当a≤0时，对任意的x∈R，f′(x)0，即函数f(x)在R上是增函数，此时函数f(x)无极值；

当a0时，由f′(x)＝0，可得x＝－lna，

当x－lna时，f′(x)0，

此时函数f(x)单调递增，

当x－lna时，f′(x)0，

此时函数f(x)单调递减，

故函数f(x)的极大值为

f(－lna)＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,a)))＋2－lna＝2a－lna＋1≥3a，

整理可得a＋lna－1≤0，

令g(a)＝a＋lna－1，其中a0，则g′(a)＝1＋eq\f(1,a)0，故函数g(a)在(0，＋∞)上单调递增，

且g(1)＝0，由a＋lna－1≤0可得g(a)≤g(1)，解得0a≤1.

因此，实数a的取值范围是(0,1]．

易错提醒(1)不能忽略函数的定义域．

(2)f′(x0)＝0是可导函数f(x)在x＝x0处取得极值的必要不充分条件，即f′(x)的变号零点才是f(x)的极值点，所以判断f(x)的极值点时，除了找f′(x)＝0的实数根x0外，还需判断f(x)在x0左侧和右侧的单调性．

(3)函数的极小值不一定比极大值小．

跟踪演练1(1)(2021·全国乙卷)设a≠0，若x＝a为函数f(x)＝a(x－a)2(x－b)的极大值点，则()

A．ab B．ab

C．aba2 D．aba2

答案D

解析当a0时，根据题意画出函数f(x)的大致图象，如图所示，观察可知ba.

当a0时，根据题意画出函数f(x)的大致图象，如图所示，观察可知ab.

综上，可知必有aba2成立．

(2)(2023·乐山模拟)已知函数f(x)＝aex－x2有两个极值点，则a的取值范围是()

A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(2,e))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,e)))

C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(2,e))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,e)，2e))

答案B

解析f′(x)＝aex－2x，f(x)有2个极值点等价于f′(x)有2个变号零点，

令f′(x)＝aex－2x＝0，

有a＝eq\f(2x,ex)，令g(x)＝eq\f(2x,ex)，

则g′(x)＝eq\f(2?1－x?,ex)，

当x＞1时，g′(x)＜0，g(x)单调递减；当x＜1时，g′(x)＞0，g(x)单调递增，所以当x＝1时，g(x)取得极大值也是最大值g(1)＝eq\f(2,e)，

当x趋于－∞时，g(x)趋于－∞，当x趋于＋∞时，g(x)趋于0，函数大致图象如图所示，

所以a的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,e))).

考点二利用导数研究函数的最值

核心提炼

1．求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤

(1)求函数在(a，b)内的极值．

(2)求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)．

(3)将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．

2．若函数含有参数或区间含有参数，则需对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数的最值．

例2(1)(2022·全国甲卷)当x＝1时，函数f(x)＝alnx＋eq\f(b,x)取得最大值－2，则f′(2)等于()

A．－1B．－eq\f(1,2)C.eq\f(1,2)D．1

答案