专题训练七　平行四边形中的计算与证明 （含答案）2024-2025学年数学华东师大版八年级下册.docx

专题训练七平行四边形中的计算与证明

利用性质与判定探究线段间的关系

1.如图,在平行四边形ABCD中,点E、F分别在AB、CD上,AE=CF,连结AF、BF、DE、CE,分别相交于H、G,连结EF、HG.

求证:(1)四边形AECF是平行四边形.

(2)EF与GH互相平分.

2.如图,四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O,已知O是AC的中点,AE=CF,DF∥BE.

求证:(1)△BOE≌△DOF.

(2)四边形ABCD是平行四边形.

利用性质与判定解决折叠问题

3.如图,把平行四边形纸片ABCD沿BD折叠,点C落在C处,BC与AD相交于点E.

(1)求证:EB=ED.

(2)连结AC,求证:AC∥BD.

4.如图,在?ABCD中,E为边AD的中点,把△ABE沿直线BE翻折,得到△FBE,连结DF并延长,交BC于点G.

(1)求证:四边形BEDG为平行四边形.

(2)若BE=AD=10,且?ABCD的面积为60,求FG的长.

5.如图,将?ABCD沿过点A的直线l折叠,使点D落到AB边上的点D处,折痕l交CD边于点E,连结BE.

(1)求证:四边形BCED是平行四边形.

(2)若BE平分∠ABC,求证:AB2=AE2+BE2.

利用性质与判定解决动点问题

6.如图,在四边形ABCD中,AD∥CB,∠BCD=90°,BC=16,DC=12,AD=21,动点P从点D出发,沿线段DA的方向以每秒2个单位的速度运动,动点Q从点C出发,在线段CB上以每秒1个单位的速度向点B运动,点P、Q分别从点D、C同时出发,当点P运动到点A时,点Q随之停止运动,设运动的时间为t(s).

(1)当t=2s时,求△BPQ的面积.

(2)当四边形ABQP为平行四边形时,求运动时间.

7.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC且AD=9cm,BC=6cm,点P、Q分别从点A、C同时出发,点P以1cm/s的速度由A向D运动,点Q以2cm/s的速度由C向B运动.几秒后直线PQ将四边形ABCD截出一个平行四边形?

8.如图,在?ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,AB⊥AC,AB=3cm,BC=5cm.点P从A点出发沿AD方向匀速运动,速度为1cm/s.连结PO并延长交BC于点Q,设运动时间为ts(0t5).当t为何值时,四边形ABQP是平行四边形?

【详解答案】

1.证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,

∴AB∥CD.

∵AE=CF,

∴四边形AECF是平行四边形.

(2)由(1)得四边形AECF是平行四边形,

∴AF∥CE.

在?ABCD中,AB∥CD,AB=CD.

又∵AE=CF,

∴BE=DF.

∴四边形BFDE是平行四边形,

∴BF∥DE.

∴四边形EGFH是平行四边形,

∴EF与GH互相平分.

2.证明:(1)∵DF∥BE,

∴∠FDO=∠EBO,∠DFO=∠BEO.

∵O为AC的中点,∴OA=OC.

∵AE=CF,∴OA-AE=OC-CF.

即OE=OF.在△BOE和△DOF中,

∠

∴△BOE≌△DOF(A.A.S.).

(2)∵△BOE≌△DOF,

∴OB=OD.∵O是AC的中点,∴OA=OC.

∴四边形ABCD是平行四边形.

3.证明:(1)由折叠可知∠CBD=∠EBD,

∵四边形ABCD是平行四边形,

∴AD∥BC,

∴∠CBD=∠EDB,

∴∠EBD=∠EDB,

∴EB=ED.

(2)如图.

∵AD=BC=BC,EB=ED.

∴AE=CE,

∴∠EAC=∠ECA.

∵∠AEC=∠BED,

∴∠ACB=∠CBD=12(180°-∠BED

∴AC∥BD.

4.解:(1)证明:由折叠的性质得AE=EF,∠AEB=∠FEB.

∴∠AEB=12(180°-∠DEF)

∵E为边AD的中点,

∴AE=DE,∴DE=EF.

∴∠EDF=∠EFD,

∴∠EDF=12(180°-∠DEF)

∴∠AEB=∠EDF,∴BE∥DG.

∵四边形ABCD是平行四边形,∴DE∥BG.

∴四边形BEDG为平行四边形.

(2)∵四边形BEDG为平行四边形,

∴DE=BG,DG=BE=10.

∵四边形ABCD是平行四边形,AE=DE,?ABCD的面积为60,

∴S△ABE=14S?ABCD=15

如图,连结AF交BE于点H,则易得AH⊥BE,AH=HF.

∵BE=10,S△ABE=12BE·AH=15,∴AH=3.∴AF=6

∵BE∥DG,∴AF⊥DG.

∴在Rt△ADF中,DF=AD2

∴FG=DG-DF=2.

5.证明:(1)将?ABCD沿过点A的直线l折叠,使点D落到AB边上的点D处,

∴∠DAE=∠DAE,∠DEA=∠DEA,DE=DE,DA=DA.

∵DE∥AD,∴∠DEA=∠EAD.

∴∠DAE=∠EAD=∠DEA=∠D