26.3.1 二次函数的实际应用 课件(共27张PPT)2024-2025学年数学华东师大版九年级下册.pptxVIP

第26章二次函数

26.3实践与探索第1课时二次函数的实际应用

华师大版-数学-九年级下册

学习目标

1.分析实际问题中变量之间的二次函数关系.

2.能应用二次函数的性质解决图形中最大面积问题.3.会运用二次函数解决抛物线型问题.

【重点】能根据实际问题列出函数关系式，并根据问题的实际情况确定自变量取何值时，函数取得最值.

【难点】通过建立二次函数的数学模型解决实际问题，在解决问题的过程中体会数形结合思想.

生活中有哪些场景可以让你联想到抛物线?

新课导入

复习导入

回顾：根据自变量的取值范围求出二次函数y=ax²+bx+c的最小(大)值.

(1)当自变量的取值范围是全体实数时，

解：若a0,则在顶点处取得最小值，此时不存在最大值；若a0,则在顶点处取得最大值，此时不存在最小值.

(2)当自变量的取值范围是x₁≤x≤x₂时，

解：i若-自变量的取值范围x₁≤x≤x₂内，

最大值与最小值同时存在，

如图①,当a0时，最小值在取得，最大值为函数在x=x₁,x=x₂时的较大的函数值；

当a0时，最大值在取得，

最小值为函数在x=x₁,x=x₂时的较小的函数值.

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①

ii若-不在自变量的取值范围

x₁≤x≤x₂内，最大值和最小值同时存在，且在x=x₁,x=x₂时的函数值中,较大的为最大值，较小的为最小值，如图②.

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②

新知探究

知识点①用二次函数求几何图形的最大面积

问题1:如图，在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD,其中AB和CD分别在两直角边上.

(1)如果设矩形的一边AB=xm,那么AD边的长度如何表示?

提示：思考△CBF与△EAF有什么

关系?有何启发?

B

40m

解：∵AB=x,则BF=40-x.∵BC//AD,

∴△BCFn△AEF.

,即

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··

解：由面积公式易得：

∴当x=20时，y的值最大，最大值是300.

即当AB=20m时，矩形的面积最大，

最大值是300m².

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(2)设矩形的面积为ym²,当x取何值时，y的值最大?最大值是多少?

40m

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议一议：在上面的问题中，如果把矩形改为如图所示的位置，其他条件不变，那么矩形的最大面积是多少?你是怎样知道的?

提示：类比原题的方法，思考能

否利用相似表示AD?

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解：过点0作OMLEF于点M,交AD于点N,由勾股定理易得EF=50m,由等面积法可得OM=24m.

设AB=x,则MN=AB=x,ON=OM-MN=24-x.

由△AOD∽△FOE,得

即

∴当AB=12m时，矩形的面积最大，最大值是300m².

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练习1:某建筑物的窗户如图所示，它的上半部分是半圆，下半

部分是矩形，制造窗框的材料总长(图中所有黑线的长度和)为15m.当x等于多少时，窗户通过的光线最多?(结果精确到0.01m)此时，

∴0x1.48.

注意：利用二次函数解决实际问题，必须求出自变量取值范围.

窗户的面积是多少?(结果精确到0.01m²)

解：∵7x+4y+πx=15,

因此，当x约为1.07m时，窗户通过的光线最多.此时，

窗户的面积约为4.02m².

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设窗户的面积是Sm²,则

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归纳总结

二次函数解决几何面积最值问题的方法：

①求出函数表达式和自变量的取值范围；

②配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值；

③检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值，使之必须在自变量的取值范围内.

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知识点②利用二次函数解决抛物线型问题

问题2:如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成.长方形的长是8米，

宽是2米，抛物线可以.表示.

(1)一辆货运卡车高4米，宽2米，它能通过该隧道吗?

(2)如果该隧道内设双向车道，那么这辆货运卡车是否可以通过?

解得x=±2√2,则此时可通过货运卡车的宽度为

4√2米.

∴高4米，宽2米的卡车能通过该隧道.

(2)由(1),得当y=2时，x=±2√2,

∵2√22,∴这两货运卡车能通过.

解：(1)扑

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练习2:如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m.水面下降1m,水面宽度增加多少?

提示：将实际问题转化为数学问题，先

建立适当的坐标系求出这条抛物线表示的二次函数，再根据二次函数的图象进行解题.

∴这条抛物线表示的二次函数

当水面下降1m时，水面的纵坐标为y=-3,这时有-