高中数学学案 　全集、补集及综合运用.docxVIP

第2课时全集、补集及综合运用

[学习目标]1.了解全集的含义及其符号表示.2.理解给定集合中一个子集的补集的含义,并会求给定子集的补集.(重点)3.会用Venn图、数轴进行集合的运算.(难点)

导语

相对于某个集合U,其子集中的元素是U中的一部分,那么剩余的元素也应构成一个集合,这两个集合对于U构成了相对的关系,这就验证了“事物都是对立和统一的关系”.这就是我们本节课要探究的内容——全集和补集.

一、全集与补集

问题1方程(x-2)(x2-3)=0的解集在有理数范围内与在实数范围内有什么不同?通过这个问题,你能得到什么启示?

提示在有理数范围内,解集为{2};在实数范围内,解集为{2,3,-3}.在数学中,很多问题都是在某一范围内进行研究.如本问题在有理数范围内求解与在实数范围内求解是不同的.

问题2若U={2,3,-3},A={2},B={3,-3},集合U与集合A,B之间有什么关系?

提示集合U是我们研究对象的全体,A?U,B?U,A∩B=?,A∪B=U.其中集合A与集合B有一种“互补”的关系.

知识梳理

1.全集

定义

一般地,如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集

记法

U

2.补集

定义

文字语言

对于一个集合A,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集,简称为集合A的补集,记作?UA

符号语言

?UA={x|x∈U,且x?A}

图形语言

性质

(1)?UA?U;

(2)?UU=?,?U?=U;

(3)?U(?UA)=A;

(4)A∪(?UA)=U;A∩(?UA)=?

注意点:

(1)“全集”是一个相对的概念,并不是固定不变的,它是依据具体的问题加以选择的.

(2)补集是集合之间的一种运算关系,求集合A的补集的前提是A是全集U的子集,随着所选全集的不同,得到的补集也不同,因此它们是相互依存、不可分割的两个概念.

(3)?UA包含三层含义:①A?U;②?UA是一个集合,且?UA?U;③?UA是U中所有不属于A的元素构成的集合.

例1(1)设U={x|x是小于7的自然数},A={2,3,4},B={1,5,6},求?UA,?UB.

解根据题意可知,U={0,1,2,3,4,5,6},所以?UA={0,1,5,6},?UB={0,2,3,4}.

(2)已知A=R,B={x|0x≤5},求?AB.

解由题意可知?AB={x|x≤0或x5}.

延伸探究若把例1(2)中的“A=R”改为“A={x|0≤x9}”,求?AB.

解由题意可知?AB={x|x=0或5x9}.

反思感悟两种求补集的方法

(1)若所给的集合是用列举法表示,则用Venn图求解.

(2)若所给的集合是有关不等式的集合,则常借助于数轴,把已知集合及全集分别表示在数轴上,然后再根据补集的定义求解,注意端点值的取舍.

跟踪训练1(1)若集合A={x|-1≤x1},当U={x|x≤2}时,?UA=,当U={x|-4≤x≤1}时,?UA=.?

答案{x|x-1或1≤x≤2}{x|-4≤x-1或x=1}

解析当U={x|x≤2}时,把集合U和A表示在数轴上,如图所示.

由图知?UA={x|x-1或1≤x≤2}.

当U={x|-4≤x≤1}时,把集合U和A表示在数轴上,如图所示.

由图知?UA={x|-4≤x-1或x=1}.

(2)(多选)已知U为全集,若A∩B=A,则()

A.A?B B.B?A

C.(?UA)?(?UB) D.(?UB)?(?UA)

答案AD

解析因为A∩B=A,所以A?B,故A正确,B错误;

所以(?UB)?(?UA),故C错误,D正确.

二、交、并、补集的综合运算

例2(1)已知全集U=R,A={x|x≤0},B={x|x≥1},则集合?U(A∪B)等于()

A.{x|x≥0} B.{x|x≤1}

C.{x|0≤x≤1} D.{x|0x1}

答案D

解析A∪B={x|x≤0或x≥1},则?U(A∪B)={x|0x1}.

(2)已知集合S={x|1x≤7},A={x|2≤x5},B={x|3≤x7}.求:

①(?SA)∩(?SB);②?S(A∩B).

解如图所示,

可得A∩B={x|3≤x5},

?SA={x|1x2或5≤x≤7},

?SB={x|1x3或x=7}.

由此可得①(?SA)∩(?SB)={x|1x2或x=7}.

②?S(A∩B)={x|1x3或5≤x≤7}.

反思感悟解决集合交、并、补运算的技巧

(1)如果所给集合是有限集,则先把集合中的元素一一列举出来,然后结合交集、并集、补集的定义来求解.在解答过程中常常借助于Venn图来求解.

(2)如果所给集合是无限实数集,则常借助数轴,把已知集合及全集分别表示在数轴上,然