高中数学学案 　余弦定理.docxVIP

9.1.2余弦定理

第一课时余弦定理

课标要求1.掌握余弦定理及其变形，会运用余弦定理解三角形.2.会运用余弦定理解决一些与测量、几何计算有关的问题.

1.思考如图，设eq\o(CB,\s\up6(→))＝a，eq\o(CA,\s\up6(→))＝b，eq\o(AB,\s\up6(→))＝c，

那么c＝a－b，

我们的研究目标是用|a|，|b|和C表示|c|，

联想到数量积的性质c·c＝|c|2＝c2＝(a－b)2，能否得到c2＝a2＋b2－2abcosC?

提示|c|2＝c·c＝(a－b)·(a－b)

＝a·a＋b·b－2a·b

＝a2＋b2－2|a||b|cosC.

所以c2＝a2＋b2－2abcosC，

同理可得a2＝b2＋c2－2bccosA，

b2＝c2＋a2－2cacosB.

2.填空余弦定理

余弦定理

公式表达

a2＝b2＋c2－2bccos__A，

b2＝a2＋c2－2accos__B，

c2＝a2＋b2－2abcos__C

语言叙述

三角形任何一边的平方，等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦的积的2倍

推论

cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)，

cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)，

cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)

温馨提醒余弦定理涉及三边及一角，“知三求一”，可用于：(1)已知两边和一角解三角形；(2)已知三边解三角形.

3.做一做在△ABC中，a＝7，b＝4eq\r(3)，c＝eq\r(13)，则△ABC的最小角为()

A.eq\f(π,12) B.eq\f(π,6)

C.eq\f(π,4) D.eq\f(π,3)

答案B

解析∵abc，∴C为最小角，

由余弦定理得cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(72＋（4\r(3)）2－（\r(13)）2,2×7×4\r(3))＝eq\f(\r(3),2).

又∵0＜C＜π，∴C＝eq\f(π,6).

题型一已知两边及一角解三角形

例1已知△ABC，根据下列条件解三角形：

(1)b＝3，c＝3eq\r(3)，B＝30°；

(2)a＝2，b＝2eq\r(2)，C＝15°.

解(1)法一由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，

得32＝a2＋(3eq\r(3))2－2a×3eq\r(3)×cos30°，

∴a2－9a＋18＝0，得a＝3或6.

当a＝3时，由于b＝3，

∴A＝B＝30°，∴C＝120°；

当a＝6时，由正弦定理得sinA＝eq\f(asinB,b)＝eq\f(6×\f(1,2),3)＝1.

又∵0°＜A＜180°，

∴A＝90°，∴C＝60°.

∴a＝3，A＝30°，C＝120°或a＝6，A＝90°，C＝60°.

法二由正弦定理得sinC＝eq\f(csinB,b)＝eq\f(3\r(3)×\f(1,2),3)＝eq\f(\r(3),2)，

由bc，∴C＝60°或120°，

当C＝60°时，A＝90°，由勾股定理a＝eq\r(b2＋c2)＝eq\r(32＋（3\r(3)）2)＝6；

当C＝120°时，A＝30°，△ABC为等腰三角形.

∴a＝b＝3.

∴a＝6，A＝90°，C＝60°或a＝3，A＝30°，C＝120°.

(2)由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝8－4eq\r(3)，

∴c＝eq\r(6)－eq\r(2).

由正弦定理得sinA＝eq\f(asinC,c)＝eq\f(1,2)，

∵ba，∴BA，∴A为锐角，

∴A＝30°，B＝135°.

思维升华已知两边及一角解三角形有以下两种情况：

(1)若已知角是其中一边的对角，有两种解法，一种方法是利用正弦定理先求角，再求边；另一种方法是用余弦定理列出关于另一边的一元二次方程求解.

(2)若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另外一边，然后根据边角关系利用正弦定理求解或者直接利用余弦定理求角.

训练1(1)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，b＝2，

cos(A＋B)＝eq\f(1,3)，则c＝()

A.4 B.eq\r(15)

C.3 D.eq\r(17)

(2)在△ABC中，a＝1，b＝2，cosB＝eq\f(1,4)，则c＝________；sinA＝________.

答案(1)D(2)2eq\f(\r(15),8)

解析(1)由三角形内角和定理可知

cosC＝－cos(A＋B)＝－eq\f(1,3)，

又由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC

＝9＋4－2×3×2×eq\b\lc\(