2025年大一高数考试知识点总结.pdfVIP

丹青不知老将至，贫贱于我如浮云。——杜甫

大一高数考试知识点总结

一、函数与极限

1.函数及其性质

函数的定义：函数是一种特殊的关系，将一个集合的元素映

射到另一个集合的元素上。

函数的性质：奇偶性、周期性、有界性、单调性、零点与极

值等。

2.极限概念

极限的定义：函数在某一点趋近于某个值，当自变量趋近于

该点时，函数值趋近于该值。

极限的性质：唯一性、局部性等。

常用极限计算方法：代入法、夹逼法、洛必达法则等。

3.无穷级数

级数的定义：无穷多个数按照一定规律相加的和。

级数的收敛与发散：绝对收敛、条件收敛、发散等。

百学须先立志。——朱熹

常用级数判别法：比值判别法、根式判别法、积分判别法等。

二、导数与微分

1.导数概念

导数的定义：函数在一点的变化率，即该点的瞬时速度。

导数的计算：极限定义、四则运算法则、链式法则等。

2.微分概念

微分的定义：函数在一点附近的线性逼近。

微分与导数的关系：微分是导数的近似值，与导数存在一定

的线性关系。

3.高阶导数与泰勒展开

高阶导数：导数的导数，表示函数的变化率的变化率。

4.函数的凸凹性与拐点

函数的凸性：函数图像在某一区间上凸起或凹陷。

太上有立德，其次有立功，其次有立言，虽久不废，此谓不朽。——《左传》

拐点的判别：函数图像由凸转为凹或由凹转为凸的点。

三、积分与曲线图形

1.不定积分

不定积分的定义：求函数的原函数，表示函数的积累效应。

基本积分法：常数倍法则、幂函数积分法、三角函数积分法

等。

2.定积分

定积分的定义：求函数在一定区间上的面积或积累效应。

定积分的性质：线性性、积分中值定理等。

3.曲线的长度与曲率

曲线的长度：求曲线弧微元的长度并累加。

曲率的定义：衡量曲线曲率变化的大小。

4.平面图形的面积与体积

海纳百川，有容乃大；壁立千仞，无欲则刚。——林则徐

平面图形的面积：求图形的面积，如三角形、椭圆等。

旋转体的体积：求图形绕某一轴旋转生成的立体体积。

四、微分方程

1.常微分方程

常微分方程的定义：含有未知函数及其导数的方程。

一阶常微分方程：可分离变量、齐次方程、一阶线性方程等。

高阶常微分方程：齐次线性方程、非齐次线性方程等。

2.微分方程的解法

解微分方程的方法：分离变量法、齐次方程解法、线性方程

解法等。

五、多元函数与偏导数

1.多元函数的概念

多元函数的定义：函数有两个或多个自变量。

好学近乎知，力行近乎仁，知耻近乎勇。——《中庸》

2.偏导数与全微分

偏导数的定义：多元函数对某一自变量求导数时的变化率。

全微分的定义：多元函数的线性逼近。

3.高阶偏导数与泰勒展开

高阶偏导数：偏导数的偏导数。

六、空间解析几何