2025年大一高数知识点全总结.pdfVIP

好学近乎知，力行近乎仁，知耻近乎勇。——《中庸》

大一高数知识点全总结

一、导数与微分

大一高数的第一个重点知识点是导数与微分。导数是研究函数

变化率的工具，表示函数在某一点处的切线斜率。微分则是导数

的另一种表达方式，它是建立在导数的基础上，用于在某一点附

近对函数进行线性逼近。

在学习导数与微分时，需要注意以下几个重要的概念和公式：

1.导数的定义：导数可以用函数的极限表示，即f(x)=

lim(Δx→0)(f(x+Δx)-f(x))/Δx，其中f(x)表示函数f(x)在点x处的

导数。

2.常见函数求导法则：常数函数、幂函数、指数函数、对数函

数、三角函数等函数的导数可以利用一些基本的求导法则确定。

3.高阶导数：函数的导数也可以再次求导，得到的导数称为高

阶导数。

4.微分的定义：函数y=f(x)在点x处的微分可以表示为dy=

f(x)dx。

5.微分的应用：微分可以用来进行近似计算，比如在物理上的

位移、速度和加速度等问题中的应用。

人人好公，则天下太平；人人营私，则天下大乱。——刘鹗

二、极限与连续

极限与连续是大一高数的第二个重点知识点。极限是数列、函

数趋近于某个确定值的概念，连续则是函数在某一区间内无断点

的特性。

在学习极限与连续时，需要注意以下几个重要的概念和定理：

1.数列极限的定义：对于一个数列{an}，若存在常数A，使得

当n趋于无穷时，an与A的差值无限接近，则称数列{an}的极

限为A。

2.函数极限的定义：对于一个函数f(x)，若存在常数A，使得

当x趋于某个值x0时，f(x)与A的差值无限接近，则称函数f(x)

的极限为A。

3.极限的性质与四则运算：极限具有唯一性和有界性，并且可

利用四则运算法则求解。

4.无穷小量与无穷大量：无穷小量是指当x趋于某个值时，其

极限为0的量；无穷大量是指当x趋于某个值时，其绝对值无限

增大的量。

其身正，不令而行；其身不正，虽令不从。——《论语》

5.连续函数的定义与性质：函数在某一点x0处连续，意味着

函数在x0处的极限等于函数在x0处的取值，并且连续函数的四

则运算结果仍然是连续函数。

三、常微分方程

常微分方程是大一高数的第三个重点知识点。常微分方程是研

究变化率与积分关系的数学工具，广泛应用于物理、工程、生物

等领域。

在学习常微分方程时，需要掌握以下几个重要的概念和方法：

1.常微分方程的定义：常微分方程是描述一个或多个未知函数

的导数与自变量之间关系的方程。

2.一阶常微分方程：一阶常微分方程是指未知函数的导数最高

阶为一阶的常微分方程，它可以通过分离变量、齐次方程、一阶

线性方程等方法求解。

3.高阶常微分方程：高阶常微分方程是指未知函数的导数最高

阶大于一阶的常微分方程，它可以通过特征方程、常系数齐次线

性方程、常系数非齐次线性方程等方法求解。

古之立大事者，不惟有超世之才，亦必有坚忍不拔之志。——苏轼

4.常微分方程的应用：常微分方程在物理、力学、电路、生物

等领域中具有广泛应用，如弹簧振动、电路分析、生物增长模型

等。

四、多元函数与偏导