高中数学学案 第七章　章末复习课.docxVIP

一、三角函数的定义

1．利用三角函数的定义求三角函数值，以及利用三角函数的定义判断三角函数值的符号是常见考查题型，含参时要注意检验是否出现增根或分类讨论．

2．掌握三角函数的定义，重点提升逻辑推理和数学运算素养．

例1已知角θ的终边经过点P(－eq\r(3)，m)(m≠0)且sinθ＝eq\f(\r(2),4)m，试判断角θ所在的象限，并求cosθ和tanθ的值．

解由题意得，r＝eq\r(3＋m2)，

所以sinθ＝eq\f(m,\r(3＋m2))＝eq\f(\r(2),4)m.

因为m≠0，所以m＝±eq\r(5)，故角θ是第二或第三象限角．

当m＝eq\r(5)时，r＝2eq\r(2)，点P的坐标为(－eq\r(3)，eq\r(5))，角θ是第二象限角，

所以cosθ＝eq\f(x,r)＝eq\f(－\r(3),2\r(2))＝－eq\f(\r(6),4)，

tanθ＝eq\f(y,x)＝eq\f(\r(5),－\r(3))＝－eq\f(\r(15),3)，

当m＝－eq\r(5)时，r＝2eq\r(2)，点P的坐标为(－eq\r(3)，－eq\r(5))，角θ是第三象限角，所以cosθ＝eq\f(x,r)＝eq\f(－\r(3),2\r(2))＝－eq\f(\r(6),4)，

tanθ＝eq\f(y,x)＝eq\f(－\r(5),－\r(3))＝eq\f(\r(15),3).

反思感悟利用三角函数定义求三角函数值，注意平方能出现增根，开方需取正，所以含参时要检验或分类讨论．

跟踪训练1(1)若sinα＜0且tanα＞0，则α是()

A．第一象限角 B．第二象限角

C．第三象限角 D．第四象限角

答案C

解析∵sinα0，∴α的终边在第三或第四象限，

∵tanα＞0，∴α的终边在第一或第三象限，

故α是第三象限角．

(2)已知角α的终边过点P(－8m，－6sin30°)，且cosα＝－eq\f(4,5)，则m的值为()

A．－eq\f(1,2)B．－eq\f(\r(3),2)C.eq\f(1,2)D.eq\f(\r(3),2)

答案C

解析由题意得点P(－8m，－3)，r＝eq\r(64m2＋9)，

所以cosα＝eq\f(－8m,\r(64m2＋9))＝－eq\f(4,5)，所以m＝eq\f(1,2).

二、同角三角函数的基本关系式及诱导公式

1．同角三角函数有两个基本关系式，重点考查给值求值和给式求值以及简单的三角函数式的化简、证明．在求值过程中注意角的范围、三角函数值的正负判断，在化简、证明中充分利用“1”的作用．

2．诱导公式可概括为k·eq\f(π,2)±α(k∈Z)的各三角函数值的化简公式．记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限．其中，奇、偶是指eq\f(π,2)的奇数倍或偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．若是奇数倍，则函数名称变为相应的异名函数(即正余互变)；若是偶数倍，则函数名称不变．符号看象限是指把α看成锐角时原函数值的符号作为结果的符号．

3．掌握正弦、余弦、正切值之间的基本关系及诱导公式，重点提升逻辑推理和数学运算素养．

例2已知eq\f(2＋tan?θ－π?,1＋tan?2π－θ?)＝－4，求(sinθ－3cosθ)·(cosθ－sinθ)的值．

解方法一由已知得eq\f(2＋tanθ,1－tanθ)＝－4，

解得tanθ＝2.

∴(sinθ－3cosθ)(cosθ－sinθ)

＝4sinθcosθ－sin2θ－3cos2θ

＝eq\f(4sinθcosθ－sin2θ－3cos2θ,sin2θ＋cos2θ)

＝eq\f(4tanθ－tan2θ－3,tan2θ＋1)

＝eq\f(8－4－3,4＋1)＝eq\f(1,5).

方法二由已知eq\f(2＋tanθ,1－tanθ)＝－4，

解得tanθ＝2.

即eq\f(sinθ,cosθ)＝2，∴sinθ＝2cosθ.

∴(sinθ－3cosθ)(cosθ－sinθ)

＝(2cosθ－3cosθ)(cosθ－2cosθ)＝cos2θ

＝eq\f(cos2θ,sin2θ＋cos2θ)＝eq\f(1,tan2θ＋1)＝eq\f(1,5).

反思感悟(1)关于同角三角函数的基本关系

一是利用基本关系进行直接运算，二是综合利用基本关系进行弦、切互化，整体代换求值等．

(2)关于诱导公式的应用

首先结合口诀理解、熟记诱导公式，其次在应用的过程中要善于观察角度之间的关系，如互余、互补、拆分出特殊角等，以达到灵活应用目的．

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