高中数学一轮总复习第4节　基本不等式.docxVIP

第4节基本不等式

考试要求1.了解基本不等式的证明过程.2.能用基本不等式解决简单的最值问题.3.掌握基本不等式在实际生活中的应用.

【知识梳理】

1.基本不等式：eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)

(1)基本不等式成立的条件：a0，b0.

(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号.

(3)其中eq\f(a＋b,2)叫作正数a，b的算术平均数，eq\r(ab)叫作正数a，b的几何平均数.

2.两个重要的不等式

(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.

(2)ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2)(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.

3.利用基本不等式求最值

当x，y均为正数时，下面命题均成立.

(1)若x＋y＝s(s为定值)，则当且仅当x＝y时，xy取得最大值eq\f(s2,4)；

(2)若xy＝p(p为定值)，则当且仅当x＝y时，x＋y取得最小值2eq\r(p).

[常用结论与微点提醒]

1.ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2)≤eq\f(a2＋b2,2).要根据两数积、两数和、两数平方和选择合适的形式.

2.在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式.若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致.

【诊断自测】

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

(1)不等式ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2)与eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)成立的条件是相同的.()

(2)函数y＝x＋eq\f(1,x)的最小值是2.()

(3)函数y＝sinx＋eq\f(4,sinx)，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))的最小值是4.()

(4)“x＞0且y＞0”是“eq\f(y,x)＋eq\f(x,y)≥2”的充要条件.()

答案(1)×(2)×(3)×(4)×

解析(1)不等式ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2)成立的条件是a，b∈R，eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)成立的条件是a≥0，b≥0.

(2)由于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，

故函数y＝x＋eq\f(1,x)无最小值.

(3)由于sinx＝eq\f(4,sinx)时sinx＝2无解，

故sinx＋eq\f(4,sinx)的最小值不为4.

(4)“eq\f(y,x)＋eq\f(x,y)≥2”的充要条件是“xy＞0”.

2.(教材改编)已知x1，则x＋eq\f(1,x－1)的最小值为________.

答案3

解析x＋eq\f(1,x－1)＝x－1＋eq\f(1,x－1)＋1

≥2eq\r(（x－1）·\f(1,x－1))＋1＝3，

当且仅当x－1＝eq\f(1,x－1)，即x＝2时等号成立.

3.(教材改编)若a＞0，b＞0，且ab＝a＋b＋3，则ab的最小值为________.

答案9

解析由ab＝a＋b＋3≥2eq\r(ab)＋3，得ab－2eq\r(ab)－3≥0，解得eq\r(ab)≥3(eq\r(ab)≤－1舍去)，

即ab≥9.当且仅当a＝b＝3时取等号.

4.若把总长为20m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m2.

答案25

解析设矩形的一边为xm，面积为ym2，

则另一边为eq\f(1,2)×(20－2x)＝(10－x)(m)，

其中0＜x＜10，

所以y＝x(10－x)≤eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(x＋（10－x）,2)))eq\s\up12(2)＝25，

当且仅当x＝10－x，即x＝5时，等号成立，

所以ymax＝25，即矩形场地的最大面积是25m2.

考点一利用基本不等式求最值

角度1配凑法

例1(1)已知0＜x＜eq\f(\r(2),2)，则xeq\r(1－2x2)的最大值为________.

答案eq\f(\r(2),4)

解析∵0＜x＜eq\f(\r(2),2)，∴1－2x2＞0，

xeq\r(1－2x2)＝eq\f(\r(2),2)·eq\r(2x2)eq\r(1－2x2)

≤eq\f(\r(2),2)·eq\f(2x2＋1－2x2,2)＝eq\f(\r(2),4).

当且仅当2x2＝1－2x2，即x＝