高中数学学案 　直线的斜率与倾斜角、方向向量的关系.docx

第2课时直线的斜率与倾斜角、方向向量的关系

[学习目标]1.理解直线的倾斜角与斜率的关系.2.了解直线的方向向量.3.会应用倾斜角与斜率的关系解决简单的综合问题．

导语

同学们，通过上节课的学习，我们知道，直线的倾斜角和斜率从不同的角度刻画了直线的方向以及倾斜程度，它们之间是否具有某种联系呢！这是我们本节课要解决的内容．

一、倾斜角、斜率的范围

问题1直线l的斜率k和它的倾斜角α的取值范围分别是多少？

提示k∈(－∞，＋∞)，α∈[0，π)．

问题2如图，A(x1，y1)，B(x2，y2)是倾斜角为α的直线l上的两点，则该直线的斜率k与倾斜角有什么关系？

提示过A作直线平行于x轴，过B作直线垂直于x轴，交于一点C，则△ABC是直角三角形，故有tanα＝eq\f(BC,AC)，而BC＝y2－y1，AC＝x2－x1，所以tanα＝eq\f(y2－y1,x2－x1)，即k＝tanα.

问题3当直线的倾斜角由0逐渐增大到π，其斜率如何变化？为什么？

提示如图，根据正切函数的图象变化可知，当倾斜角为锐角时，斜率为正，斜率随着倾斜角的增大而增大；当倾斜角为钝角时，斜率为负，斜率随着倾斜角的增大而增大．当α＝eq\f(π,2)时，直线l与x轴垂直，此时直线l的斜率不存在．

知识梳理

1．直线的斜率k与倾斜角αeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)))满足k＝tanαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中α≠\f(π,2))).

2．斜率k与倾斜角α有如下关系：

当α∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))时，斜率k≥0，且k随倾斜角α的增大而增大；

当α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))时，斜率k0，且k随倾斜角α的增大而增大．

当α＝eq\f(π,2)时，直线l与x轴垂直，此时直线l的斜率不存在．

例1已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点．求直线l的斜率k的取值范围．

解如图，由题意知kPA＝eq\f(4－0,－3－1)＝－1，kPB＝eq\f(2－0,3－1)＝1.

要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是k≤－1或k≥1.

延伸探究

1．本例条件不变，求直线l的倾斜角α的取值范围．

解由题意可知，直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又直线PB的倾斜角是45°，直线PA的倾斜角是135°，所以α的取值范围是45°≤α≤135°.

2．本例条件中“与线段AB有公共点”改为“与线段AB无公共点”．求直线l的斜率k的取值范围．

解由本例知与线段AB有公共点时，

斜率k满足k≤－1或k≥1.

则与线段AB无公共点时斜率k的取值范围为－1k1.

反思感悟解决取值范围问题的基本方法——数形结合

斜率k的大小与正切函数之间的关系是用倾斜角α来联系的，因此，可以由倾斜角的变化得出斜率的变化．

二、直线的斜率与方向向量的关系

问题4什么是直线的方向向量？

提示直线上的向量及与之平行的非零向量．

问题5已知直线l上两点A(1,2)，B(－1,3)，你能写出直线l的一个方向向量吗？若A(1,2)，B(1,3)呢？

提示eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－1－1,3－2)＝(－2,1)．

eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1－1,3－2)＝(0,1)．

知识梳理

1．在直线l上任取两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，向量eq\o(P1P2,\s\up6(—→))是直线l的方向向量，它的坐标是(x2－x1，y2－y1)，直线的倾斜角α、斜率k、方向向量eq\o(P1P2,\s\up6(—→))之间的关系是k＝eq\f(y2－y1,x2－x1)＝tanα(其中x1≠x2)．

2．若k是直线l的斜率，则v＝(1，k)是它的一个方向向量；若直线l的一个方向向量的坐标为(x，y)，其中x≠0，则它的斜率k＝eq\f(y,x).

注意点：

(1)任意斜率不存在时的直线的方向向量为a＝(0,1)；

(2)任意直线的方向向量可表示为a＝(cosθ，sinθ)(θ为倾斜角)．

例2(1)已知直线l的一个方向向量为(5,8)，且该直线过点(1,2)，则直线l过点()

A．(6,10) B．(4,8)

C．(2,4) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，－\f(3,2)))

答案A

解析因为直线l的一个方向向量为(5,8)，所以直线l的斜率为eq\f(8,5)，设直线l上一点为(x，y)，则eq\f