高中数学学案 　角的推广.docx

7.1.1角的推广

[学习目标]1.了解任意角的概念，区分正角、负角与零角.2.理解并掌握终边相同的角的概念，能写出终边相同的角所组成的集合.3.了解象限角的概念．

导语

同学们，钟表是帮助我们掌握时间的好帮手，生活中我们经常听到时钟慢了5分钟，或时钟快了30分钟，应该如何校准？再比如，我们一节课45分钟，时针、分针以及秒针分别旋转了多少度？再比如，在体操、花样游泳、跳水等项目中，我们也常常听到“前空翻转体540度”“后空翻转体720度”等这样的解说，这些问题都和角度是分不开的，为了研究这些问题，我们开始今天的新课．

一、角的概念的推广

问题1在初中是如何定义角的？角的范围是多少？

提示我们把有公共端点的两条射线组成的图形称为角，角的范围是0°～360°.

知识梳理

1．角的概念：

一条射线绕其端点旋转到另一条射线所形成的图形称为角，这两条射线分别称为角的始边和终边．

2．角的分类：

名称

定义

图示

正角

按照逆时针方向旋转而成的角

负角

按照顺时针方向旋转而成的角

零角

一条射线没有旋转而成的角

由于这样定义的角是旋转生成的，所以也常称为转角．

3．角的加法与减法(β0°)

(1)α＋β：把角α的终边逆时针方向旋转角β，如图①.

①②

(2)α－β：把角α的终边顺时针方向旋转角β，如图②.

例1若手表时针走过4小时，则时针转过的角度为()

A．120° B．－120°

C．－60° D．60°

答案B

解析由于时针是顺时针旋转，故时针转过的角度为负数，即为－eq\f(4,12)×360°＝－120°.

反思感悟正确理解正角、负角、零角等概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小．逆时针旋转形成一个正角，顺时针旋转形成一个负角．正角与负角是表示具有相反意义的旋转量，它的正负规定纯属习惯，就好像正数与负数的规定一样．

跟踪训练1经过2个小时，钟表的时针和分针转过的角度分别是()

A．60°，720° B．－60°，－720°

C．－30°，－360° D．－60°，720°

答案B

解析钟表的时针和分针都是顺时针旋转，因此转过的角度都是负的，而eq\f(2,12)×360°＝60°，2×360°＝720°，故钟表的时针和分针转过的角度分别是－60°，－720°.

二、象限角

知识梳理

在平面直角坐标系中，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边落在x轴的正半轴上，这时，角的终边在第几象限，就把这个角称为第几象限角，如果终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限．

注意点：

(1)锐角是第一象限角，钝角是第二象限角，直角的终边在坐标轴上，它不属于任何一个象限．

(2)每一个象限都有正角和负角．

(3)无法比较两个象限角的大小．

例2(多选)下列四个角中，属于第二象限角的是()

A．160° B．480°

C．－960° D．1530°

答案ABC

解析A中，160°显然是第二象限角；

B中，480°＝120°＋360°是第二象限角；

C中，－960°＝－3×360°＋120°是第二象限角；

D中，1530°＝4×360°＋90°不是第二象限角．

反思感悟正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念的关系，需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可．

跟踪训练2(多选)下列叙述不正确的是()

A．三角形的内角是第一象限角或第二象限角

B．钝角是第二象限角

C．第二象限角比第一象限角大

D．小于180°的角是钝角、直角或锐角

答案ACD

解析直角不属于任何一个象限，故A不正确；钝角是大于90°小于180°的角，是第二象限角，故B正确；120°是第二象限角，390°是第一象限角，但120°390°，故C不正确；由于零角和负角也小于180°，故D不正确．

三、终边相同的角

问题2给定一个角，它的终边是否唯一？若两个角的终边相同，那么这两个角相等吗？

提示给定一个角，它的终边唯一；两个角终边相同，这两个角不一定相等，比如30°的终边和390°的终边相同，它们正好相差了360°.

知识梳理

所有与α终边相同的角组成一个集合，这个集合可记为S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即集合S的每一个元素的终边都与α的终边相同，k＝0时对应元素为α.

例3已知α＝－1845°，在与α终边相同的角中，求满足下列条件的角．

(1)最小的正角；

(2)最大的负角；

(3)－360°～720°之间的角．

解因为－1845°＝－45°＋(－5)×360°，

即－1845°角与－45°角的终边相同，

所以与角α终边相同的角的集合是

{β|β＝－45°＋k·360°，k∈Z}，

(1)最小的正角为315°.