重庆市秀山高级中学高2024-2025学年高二上学期适应性考试数学试题（含答案解析）.docx

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重庆市秀山高级中学高2024-2025学年高二上学期适应性考试数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知等差数列的前项和为，若，则数列的公差（????）

A．3 B．2 C． D．4

2．已知圆，圆，则这两个圆的位置关系为（????）.

A．外离 B．外切 C．相交 D．内含

3．已知椭圆的左焦点是双曲线的左顶点，则双曲线的渐近线为（????）

A． B．

C． D．

4．在正方体中，点是棱的中点，则异面直线与所成角的正弦值为（????）

A． B． C． D．

5．已知，直线的方向向量与直线的方向向量共线，则这两条直线之间的距离为（???）

A．4 B． C． D．

6．某学习小组研究一种卫星接收天线（如图①所示），发现其曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚焦到焦点处（如图②所示）．已知接收天线的口径（直径）为，深度为，则该抛物线的焦点到顶点的距离为（????）

A．0.9 B． C．1.2 D．1.05

7．直线经过椭圆的左焦点，且与椭圆交于两点，若为线段中点，，则椭圆的离心率为（????）

A． B． C． D．

8．已知数列满足，且，记数列的前项和为，则（????）

A． B． C． D．2

二、多选题

9．已知数列是首项为1，公比为3的等比数列，则（????）

A．是等差数列 B．是等差数列

C．是等比数列 D．是等比数列

10．下列说法正确的是（????）

A．若向量共面，则它们所在的直线共面

B．若是四面体的底面的重心，则

C．若，则四点共面

D．若向量，则称为在基底下的坐标，已知在单位正交基底下的坐标为，则在基底下的坐标为

11．已知双曲线，过左焦点作一条渐近线的垂线，垂足为，过右焦点作一条直线交双曲线的右支于两点，的内切圆与相切于点，则下列选项正确的是（????）

A．线段的最小值为

B．的内切圆与直线相切于点

C．当时，双曲线的离心率为

D．当点关于点的对称点在另一条渐近线上时，双曲线的渐近线方程为

三、填空题

12．在空间直角坐标系中，已知向量，则在轴上的投影向量为.

13．在等比数列中，，则.

14．已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点，若，则．

四、解答题

15．已知三点，记的外接圆为.

(1)求的方程；

(2)若直线与交于两点，求的面积.

16．已知?圆：（）经过点，离心率为.

(1)求椭圆的方程；

(2)直线与椭圆交于点（异于顶点）与轴交于点，点为椭圆的右焦点，为坐标原点，，求直线的方程.

17．已知数列的首项，设为数列的前项和，且有.

(1)求数列的通项公式；

(2)令，求数列的前项和.

18．在四棱锥中，底面，，，，，点为棱中点.

(1)证明：平面；

(2)求直线与平面所成角的正弦值；

(3)若为棱上一点，满足，求平面与平面夹角的余弦值.

19．如图，已知椭圆的两个焦点为，且为双曲线的顶点，双曲线的离心率，设为该双曲线上异于顶点的任意一点，直线的斜率分别为，且直线和与椭圆的交点分别为和.

(1)求双曲线的标准方程；

(2)证明：直线的斜率之积为定值；

(3)求的取值范围.

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《重庆市秀山高级中学高2024-2025学年高二上学期适应性考试数学试题》参考答案

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

B

C

D

C

B

A

C

A

AD

BD

题号

11

答案

BCD

1．B

【分析】根据等差数列通项公式和求和公式直接计算求解.

【详解】由，

故选：B

2．C

【分析】求得两个圆的圆心和半径，求得圆心距，由此确定正确选项.

【详解】圆的圆心为，半径为，

圆方程可化为，

圆的圆心为，半径为，圆心距，

因为，

所以两个圆的位置关系是相交.

故选：C.

3．D

【分析】由椭圆的标准方程可得其焦点坐标，从而得到双曲线的左顶点坐标，再由其渐近线方程，即可得到结果.

【详解】设椭圆焦距为，

则，则，所以椭圆的左焦点为，

所以双曲线的左顶点为，

所以，所以，

所以双曲线的渐近线为.

故选：D

4．C

【分析】通过平行关系将异面直线夹角转化为相交直线夹角，结合等腰三角形性质求解正弦值即可.

【详解】如图所