北京市中国人民大学附属中学2024-2025学年高二上学期统练四数学试题（含答案解析）.docx

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北京市中国人民大学附属中学2024-2025学年高二上学期统练四数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知直线的方向向量为，则直线的倾斜角是（????）

A． B． C． D．

2．已知直线，，若，则（????）

A．1或2 B．0 C． D．0或

3．已知圆与圆外切，则（????）

A． B． C． D．

4．圆上的动点到直线的距离的最小值为（????）

A． B． C． D．

5．设直线与椭圆相交于、两点，当变化时，线段的中点所在的直线方程为（???）

A． B．

C． D．

6．设，则“”是“曲线是焦点在轴的双曲线”的（???）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

7．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点是上一点，且，，则的渐近线方程为（???）

A． B．

C． D．

8．已知椭圆的左、右焦点为，，点是上一点，延长交于点，若为正三角形，且周长为12，则（???）

A． B． C． D．

9．如图，在中，，，，当点、分别在、轴上运动，点到原点的最大距离是（???）

A． B． C． D．3

10．已知椭圆与圆，若上存在点，过可作的两条切线和，且，则的离心率的取值范围是（???）

A． B．

C． D．

二、填空题

11．已知双曲线经过点，且与具有相同的渐近线，则双曲线的标准方程为.

12．已知点和点，若点满足，则点的轨迹方程为，的面积的最大值为.

13．若直线与双曲线恰好有一个交点，则直线的斜率的所有可能值为.

14．如图，一底面半径为1的圆柱被一个与底面成角的平面所截，、分别为底面和截面的中心.已知点为截面边界上距离底面最近的点，且该距离为1，点为截面边界上一点，且，则点到底面的距离是.

15．已知点是曲线（其中，为常数）上一点，设，是直线上任意两个不同的点，且.给出下列三个结论：

①当时，方程表示椭圆：

②当，，且时，使得是等腰直角三角形的点有6个：

③当，，且时，使得是等腰直角三角形的点有8个.

则所有正确结论的序号是.

三、解答题

16．已知圆分别与、轴正半轴交于、两点，为圆上的动点.

(1)过点的直线截所得弦长为，求的方程；

(2)若点为上异于，的动点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：为定值.

17．已知椭圆的左、右顶点分别为、，点是上一点，且直线与直线的斜率之积为.

(1)求的方程及其长轴长；

(2)若圆的切线与交于、两点，求的最大值.

18．椭圆的左、右焦点为、，且焦距为，点是上第一象限内的点，满足，且的面积为1.

(1)求的方程：

(2)若的右顶点为，直线与交于不同的两点，，且满足.求证：直线过定点，并求出定点的坐标.

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《北京市中国人民大学附属中学2024-2025学年高二上学期统练四数学试题》参考答案

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

D

A

B

A

C

B

C

B

A

C

1．D

【分析】由直线的方向向量先求出直线的斜率，再求倾斜角，从而得解.

【详解】因为直线的方向向量为，

所以直线的斜率为，设直线的倾斜角为，

则，，则.

故选：D.

2．A

【分析】利用两直线垂直的性质得到关于的方程，解之即可得解.

【详解】因为，，，

所以，解得或，

经检验，或满足题意，故或.

故选：A.

3．B

【分析】先得到两圆的圆心和半径，再利用两圆外切得到关于的方程，解之即可得解.

【详解】因为圆的圆心为，半径为，

圆可化为，

则圆的圆心为，半径为，

因为两圆外切，所以，

即，解得.

故选：B.

4．A

【分析】先得到圆的圆心与半径，再利用点到直线的距离公式即可得解.

【详解】因为圆，所以其圆心，半径，

所以圆心到直线的距离，

则所求距离的最小值为.

故选：A.

5．C

【分析】先通过联立直线和椭圆方程，利用韦达定理求出中点坐标，再根据中点坐标的关系得出中点所在直线方程.

【详解】将直线方程代入椭圆方程中，得到.

展开式子化简为.

根据韦达定理,所以，又因为中点横坐标.

已知，把代入可得.

因为，即.

所以线段的中点所在的直线方程为.

故选：C.

6．B

【分析】根据双曲线的方程特征求，再判断充分，必要条件.

【详解】若曲线表示焦点