2025高考数学专题复习：不等式.doc

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专题七不等式

考点19不等式的性质与解法、基本不等式

题组

一、选择题

1.[2021全国卷乙，5分]下列函数中最小值为4的是(C)

A.y=x2+2x

C.y=2x+2

[解析]对于选项A，因为y=x2+2x+4=x+12+3

对于选项B，令sinx=t,则0t≤1,由函数y=t+

对于选项C，因为y=2x+22-x≥22x?22-x=4，当且仅当2x=22-x，即x=2-x

【易错点拨】利用基本不等式求最值时，必须关注其中的“等号”能否取到.

2.[2021浙江，4分]已知α，β，γ是互不相同的锐角，则在sinαcosβ，sinβ

A.0 B.1 C.2 D.3

[解析]因为α,β,γ是互不相同的锐角，所以sinα，cosβ,sinβ，cosγ,sinγ，cosα均为正数.由基本不等式可知sinαcosβ≤sin2α+cos2β2，sinβcosγ≤sin2β+cos2γ2，sinγcosα≤sin2γ+cos2α2.三式相加可得

3.[2020北京，4分]已知函数fx=2x-

A.-1,1 B.-∞,-1∪1,+∞

[解析]函数fx=2x-x-1，则不等式fx0的解集即2xx+1

二、填空题

4.[2021天津，5分]若a0,b0,则

[解析]1a+ab2+b≥21a?ab

5.[2020天津，5分]已知a0，b0，且ab=

[解析]依题意得12a+12b+8a+b=a

6.[2020江苏，5分]已知5x2y2+

[解析]解法一由5x2y2+y4=1得x2=15y2-y

解法二4=5x2+y2?4y2≤[5x2+y2+

7.[2019天津，5分]设x0,y0,x+

[解析]解法一由题意知x=4-2y，代入得4-2y+12y+1

解法二由题意知y=2-x2，代入得x+14-x+

解法三由题意知x+12y+1xy=2xy+x+2y+1xy=2xy+5xy=2+

8.[2019北京，5分]李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量,李明对这四种水果进行促销:一次购买水果的总价达到120元,顾客就少付x元,每笔订单顾客网上支付成功后,李明会得到支付款的80%

①当x=10时,顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,需要支付

[解析]顾客一次购买草莓和西瓜各1盒共需60+80=140

②在促销活动中,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x的最大值为15.

[解析]设顾客买水果的总价为a元，当0≤a120时，顾客支付a元，李明得到0.8a元，且0.8a≥0.7a，显然符合题意，此时x=0；当a≥120时，则0.8a-x≥0.7a恒成立，即x≤18a

考点20二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题

题组

一、选择题

1.[2022全国卷乙，5分]若x，y满足约束条件x+y≥2,

A.-2 B.4 C.8

[解析]作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分，作出直线y=2x，平移该直线，当直线经过点4,0时，z最大，此时z=

第1题图

2.[2022浙江，4分]若实数x,y满足约束条件x-2≥0,

A.20 B.18 C.13 D.6

[解析]

第2题图

作出不等式组表示的平面区域如图所示，平移直线3x+4y=0，由图知，当直线经过点A2,3时目标函数z=

3.[2021全国卷乙，5分]若x,y满足约束条件x+y≥4,

A.18 B.10 C.6 D.4

[解析]作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线y=-3x,并平移，数形结合可知，当平移后的直线经过点A时，直线y=-3x+z在y轴上的截距最小，即z最小.解方程组x+y=4,y=3得x=1,

【方法技巧】一般地，求目标函数z=ax+by+c的最值时，要注意两个问题：①准确判断直线l0：ax+by=0与可行域的边界所在直线的相对位置；②当b0时，l0向上平移z增大，l0

4.[2021浙江，4分]若实数x,y满足约束条件x+1≥0,

A.-2 B.-32 C.-12

[解析]作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线y=2x并平移，数形结合可知，当平移后的直线经过点A时z取得最小值.由2x+3y-1=0,x+1=0

【方法技巧】线性规划问题中，目标函数的最值通常在约束条件表示的可行域的边界交点处取得.

5.[2020浙江，4分]若实数x,y满足约束条件