微分方程及其定解条件、等效积分.ppt

例如，在一个平面区域内的拉普拉斯方程现在边界条件有两个，在一部分边界上给定函数值，另一部分的边界上给定函数方向导数，这样0201了解微分方程的抽象数学表达对理论研究是很有帮助的，01因为在研究微分方程的一般性质或推导一些微分方程的02一般规律时，我们不可能对每个微分方程都推导一遍，这03时抽象表达是就发挥重要作用了。下面我们就将见到一种04微分方程的普遍规律或者说普遍的变换形式——等效积分05形式06虽然是要推导一个普遍规律，但为了便于说明，我们还是从一个简单的特例出发，这个特列就是刚才提到的二维拉普拉斯方程及其边界条件01这个二维拉普拉斯方程的求解域是一个平面区域03拉普拉斯方程也是成立的，05如果方程两边同时乘以这个小区域的面积，结果会是02在求解域内的一个小区域内04也就是06这样设想把求解域划分成若干个小区域，也就是说求解域的面积等于这些小区域面积和01对于每一个小区域来说，刚才的推导也是成立的02现在我们把它对所有小区域求和03现在我们把它对所有小区域求和再进一步，如果我们取的小区域趋向无穷小，也就是回忆一下，高等数学中定积分的概念，立刻就可以得到对于边界条件我们同样可以做类似的分析对于边界条件也可以这样上面的积分式成立根本原因是拉普拉斯方程及其边界条件成立，拉普拉斯方程从以下这个角度看待现在，我们把1换成其他的，任意的函数，同样成立按照刚才的思路，同样可以得到一个积分等式这个方程与拉普拉斯方程及其边界条件是等效的，也就来只要这个积分式成立，拉普拉斯方程及其边界条件就式。我们可以把它推广到一般情况。是说，只要拉普拉斯方程成立这个积分式就成立，反过成立。这就是拉普拉斯方程及其边界条件的等效积分形1现在，我们来看一般的微分方程组的情况，之前曾3像上面拉普拉斯方程等效积分形式分析的过程一样，对2介绍过，微分方程组及其边界条件可以表示为：4微分方程组中每一个微分方程，以下的积分都是成立的5都是任意的函数，把这些积分加起来对于边界条件也一样，只是积分是沿边界积分上面这两个积分，我们可以写成矢量形式这两个积分加起来，就得到想要得到的结果了01这就是微分方程组等效积分形式的一般式，它与原微分02方程完全等效，就像之前以拉普拉斯方程为例进行讨论03的情况一样。微分方程（组）的等效积分形式，是有限04元方法的理论基础之一，推导有限元求解方程的方法之05一就是从微分方程（组）的等效积分出发，由于与原微06分方程的等效性，从而保证了有限元求解的正确性。在这个积分式中，要使这个积分存在，不能出现无穷大的情况上面分析中对等效积分中使用的任意函数以及微分方程的解的性质没有做出任何限定，事实上，对它们是有一定限制的，那就是它们应该使得等效积分式中的被积函数具有可积性或者说使积分能够进行计算要达到这个目的，就要对做出一些限制1对，由于是我们可以选择的函数，那就选择那些2单值，且在求解域和求解域边界上可积分的函数就可以3对，虽然是待求解，我们也可以定性的给出它的一个4性质，它的选择要根据微分方程的阶数来选择，如果微5分方程（组）中最高微分阶次为n，那么待求解必然是一6个具有n-1阶连续的导数，这样的函数也称为具有Cn-1连续7性。这可以用于指导近似解或近似函数的选择。8微分方程及其定解条件、等效积分原理几个典型物理问题及其数学描述（微分方程和定解条件）01微分方程的类型02微分方程的边界条件03微分方程及其边界条件的等效积分原理04这一部分里，我们将看到以下内容几个典型的问题弦振动问题的微分方程及定解条件传热问题的微分方程及定解条件位势方程及定解条件弦是一种抽象模型，工程实际中，可以模拟绳锁、电缆等结构，如远距离输电线路、一些桥梁的悬索、拉锁等；几何上可以用一条线段（不一定是直线段）来表示弦。这里所说的弦的振动是弦的微小横振动，一定长度的、柔软、均匀的弦，两端拉紧，在垂直于弦线的外力下做微小横振动，弦的运动发生在同一平面内，弦的各点位移与平衡位置垂直弦的长度l，线密度为，弦的张力为T01弦振动的微分方程为：02f是垂直于平衡位置的外力03这个微分方程虽然描述了弦振动时各点的运动状态，但单纯依靠这个微分方程，我们还不能唯一确定弦的振动，必须给出定解条件，定解条件主要有两种，一种是初始时刻弦的运动状态，称为初始条件：初始时刻各点的位移初始时刻各点的速度123给定弦的两个端点的运动规律，一般来说边