2025年广东省广州市中考数学压轴题二次函数题库及答案解析(共100题)109.pdfVIP

天将降大任于斯人也，必先苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤，空乏其身，行拂乱其所为。——《孟子》

2025年广东省广州市中考数学压轴题题库及答案解析

（二次函数综合共100题）

2

1．如图1，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线y＝x+bx+c与x轴交于点A（4，

0），点B（﹣1，0），与y轴交于点C，连接AC、BC．

（1）求抛物线的表达式；

（2）判断△ABC的形状，并说明理由；

（3）①如图2，点D从点B出发沿线段BC向点C运动，到达点C停止，连接AD，过

点D作DE⊥AB于点E，作DF⊥AC于点F，当＝时，求点D的坐标；

②如图3，设点P是线段AD的中点，连接PE、PF、EF，在点D由起点到终点的运动

过程中，写出点P的运动路程和△PEF周长的最小值．

【分析】（1）用交点式抛物线表达式，即可求解；

（2）点C（0，﹣3），则AC＝5，AC＝AB＝5，即可求解；

（3）①△DCF∽△DBE，则＝＝，设DB＝m，则BC＝3m＝，则m＝，

BE＝，OE＝，DE＝1，即可求解；②A、E、D、F四点共圆，AD为⊙O的直径，

∠BAC是定角，则∠EPF也是定角，当AD⊥BC时，直径AD最短，从而弦EF也最短，

即可求解．

【解答】解：（1）用交点式抛物线表达式可得：

y＝（x+1）（x﹣4）＝x2﹣x﹣3；

（2）点C（0，﹣3），则AC＝5，

AC＝AB＝5，△ABC的是等腰三角形；

（3）①∵∠DBE＝∠DCF，∴△DCF∽△DBE，

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以家为家，以乡为乡，以国为国，以天下为天下。——《管子》

∴＝＝，

设DB＝m，则BC＝3m＝，

∴m＝，BE＝，OE＝，DE＝1，

∴D（﹣，﹣1）；

②∵DE⊥ABE，DF⊥AC，

∴A、E、D、F四点共圆，AD为⊙O的直径，

∵∠BAC是定角，∴∠EPF也是定角，

当AD⊥BC时，直径AD最短，从而弦EF也最短．

此时，AD＝ABsin∠OBC＝5×＝＝2R，

EF＝2Rsin∠EPD＝2Rsin∠OAC＝×＝，

△PEF的周长最小值＝EF+2R＝+，

点P的轨迹为△ABC的中位线：BC＝．

【点评】本题主要考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、解直角三角形、圆的

基本知识等，其中（3）②，确定A、E、D、F四点共圆，是本题的突破点和难点．

2

2．如图，抛物线y＝x+bx+c交x轴于点A（1，0）和点B，交y轴于点C（0，3）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线上找出点P，使PC＝PO，求点P的坐标；

（3）将直线AC沿x轴的正方向平移，平移后的直线交y轴