高中数学学案 　两个计数原理的综合应用.docVIP

第二课时两个计数原理的综合应用

课标要求1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别.2.会正确应用这两个计数原理解决相关问题.

【知识梳理】

两个计数原理的区别与联系

分类加法计数原理

分步乘法计数原理

相同点

用来计算完成一件事的方法种类

不同点

分类完成，类类相加

分步完成，步步相乘

每类方案中的每一种方法都能独立完成这件事

每步依次完成才算完成这件事(每步中的一种方法不能独立完成这件事)

注意点

类类独立，不重不漏

步步相依，步骤完整

温馨提醒用两个计数原理解决问题时，需明确是需要分类还是需要分步，有时，可能既要分类又要分步.

【自测检验】

1.思考辨析，判断正误

(1)分类计数是指将完成这件事的所有方式进行分类，每一类都能独立完成该事件.(√)

(2)分步计数是指将完成这件事分解成若干步骤，当完成所有的步骤时，这个事件才算完成.(√)

(3)当一个事件既需要分步又需要分类时，分步和分类没有先后之分.(×)

提示当一个事件既需要分步又需要分类时，通常要明确是先分类后分步还是先分步后分类，并且要明确分类的标准和分步的程序问题.

(4)计数时，若正面分类，种类比较多，而问题的反面种类比较少时，使用间接法会简单一些.(√)

2.有A，B两种类型的车床各一台，现有甲、乙、丙三名工人，其中甲、乙都会操作两种车床，丙只会操作A种车床，要从这三名工人中选两名分别去操作这两种车床，则不同的选派方法有()

A.6种 B.5种

C.4种 D.3种

答案C

解析不同的选派情况可分为3类：

若选甲、乙，有2种方法；

若选甲、丙，有1种方法；

若选乙、丙，有1种方法.

根据分类加法计数原理知，不同的选派方法有2＋1＋1＝4(种).

3.某班有3名学生准备参加校运会的100米、200米、跳高、跳远四项比赛，如果每班每项限报1人，则这3名学生的参赛的不同方法有()

A.24种 B.48种

C.64种 D.81种

答案A

解析由于每班每项限报1人，

故当前面的学生报了某项之后，后面的学生不能再报，

由分步乘法计数原理，共有4×3×2＝24(种)不同的参赛方法.

4.(a1＋a2)(b1＋b2＋b3)(c1＋c2＋c3＋c4)的展开式中有________项.

答案24

解析要得到项数分三步：

第一步，从第一个因式中取一个因子，有2种取法；

第二步，从第二个因式中取一个因子，有3种取法；

第三步，从第三个因式中取一个因子，有4种取法.

由分步乘法计数原理知，共有2×3×4＝24(项).

题型一两个计数原理在排数中的应用

例1用0，1，2，3，4五个数字，

(1)可以排成多少个三位数字的电话号码？

(2)可以排成多少个三位数？

(3)可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？

解(1)三位数字的电话号码，首位可以是0，数字也可以重复，每个位置都有5种排法，共有5×5×5＝53＝125(种)，即可以排成125个三位数字的电话号码.

(2)三位数的首位不能为0，但可以有重复数字，首先考虑首位的排法，除0外共有4种方法，第二、三位可以排0，

因此，共有4×5×5＝100(种)，即可以排成100个三位数.

(3)被2整除的数即偶数，末位数字可取0，2，4，因此，可以分两类，

一类是末位数字是0，则有4×3＝12(种)排法；

一类是末位数字不是0，则末位有2种排法，即2或4，

再排首位，因0不能在首位，所以有3种排法，

十位有3种排法，因此有2×3×3＝18(种)排法.

因而有12＋18＝30(种)排法，

即可以排成30个能被2整除的无重复数字的三位数.

迁移由本例中的五个数字可组成多少个无重复数字的四位奇数？

解完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事，可以分四步：

第一步定个位，只能从1，3中任取一个，有2种方法；

第二步定首位，把1，2，3，4中除去用过的一个剩下的3个中任取一个，有3种方法；

第三步，第四步把剩下的包括0在内的3个数字先排百位有3种方法，再排十位有2种方法.

由分步乘法计数原理知共有2×3×3×2＝36(个).

思维升华对于组数问题，应掌握以下原则：

(1)明确特殊位置或特殊数字，是我们采用“分类”还是“分步”的关键.一般按特殊位置(末位或首位)分类，分类中再按特殊位置(或特殊元素)优先的策略分步完成；如果正面分类较多，可采用间接法求解.

(2)要注意数字“0”不能排在两位数字或两位数字以上的数的最高位.

训练1从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为()

A.24 B.18

C.12 D.6

答案B

解析由于题目要求是奇数，那么对于此三位数可以分成两种情况：奇偶奇，偶奇奇.

如果