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云南省下关第一中学2024-2025学年高二上学期12月段考（二）数学试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1．设复数z满足,则它的共轭复数的虚部为()

A.1 B.i C. D.

2．设等差数列的前n项和为，且，，则取最小值时，n的值为()

A.14 B.15 C.16 D.15或16

3．已知函数在R上单调递增,则a的取值范围是()

A. B. C. D.

4．在等比数列中,,,则等于()

A.或 B. C. D.或

5．如图所示,一个底面半径为的圆柱被与其底面所成的角为的平面所截,截面是一个椭圆,则下列结论错误的是()

A.椭圆的长轴长为4

B.椭圆的离心率为

C.椭圆的方程可以为

D.椭圆上的点到焦点的距离的最小值为

6．一条光线从点射出,经x轴反射后,与圆相切,则反射后光线所在直线的斜率为()

A.或 B.或 C.或 D.或

7．元代数学家朱世杰编著的《算法启蒙》中记载了有关数列的计算问题:“今有竹七节,下两节容米四升,上两节容米二升,各节欲均容,问逐节各容几升?”其大意为:现有一根七节的竹子,最下面两节可装米四升,最上面两节可装米二升,如果竹子装米量逐节等量减少,问竹子各节各装米多少升?以此计算,这根竹子的装米量为()

A.9升 B.10.5升 C.12升 D.13.5升

8．已知双曲线的左焦点为,为坐标原点,若在的右支上存在关于轴对称的两点P,Q,使得为正三角形,且,则C的离心率为()

A. B. C. D.

二、多项选择题

9．已知等差数列的前n项和为,且,则下列结论中正确的是()

A.是递增数列 B.时,n的最大值为13

C.数列中的最大项为 D.时,n的最大值为27

10．已知点F是抛物线的焦点,过点F的直线交抛物线于M、N两点,则下列结论正确的是()

A.点M到焦点F的最小距离为1

B.若点P的坐标为,则的最小值为

C.以为直径的圆与抛物线的准线相切

D.

11．八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，其中，则下列结论正确的有()

A.

B.

C.在上的投影向量为

D.若点P为正八边形边上的一个动点，则的最大值为4

三、填空题

12．设等差数列的前n项和为，若，则的公差为__________.

13．如图所示,CD是某校园内一标志性雕像,小明同学为了估算该雕像的高度,在学校教学楼AB（高为米）与雕像之间的地面上的点M处（B,M,D三点共线）测得楼顶A及雕像顶C的仰角分别是和,在楼顶A处又测得雕塑顶C的仰角为,假设AB、CD和点M在同一平面内,则小明估算该雕像的高度为________米.

14．侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规律的蜘蛛网,如图是由无数个正方形环绕而成的,且每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外边最近一个正方形四条边的三等分点上.设外围第一个正方形的边长为1,往里第二个正方形为,…,往里第n个正方形为.那么第7个正方形的周长是________,至少需要前________个正方形的面积之和超过2.（参考数据:,）.

四、解答题

15．已知是各项均为正数的等比数列,,且,,成等差数列.

（1）求的通项公式.

（2）设,求数列的前n项和.

16．在四边形中,,,,,.

（1）求的大小;

（2）求的值.

17．在等差数列中,,,的前n项和为.

（1）求数列的通项公式;

（2）求的最大值;

（3）设,求.

18．如图,在四棱锥中,底面为矩形,底面,,E是的中点.

（1）求证:平面;

（2）求平面与平面夹角的余弦值;

（3）在棱上是否存在一点F,使直线与平面所成角的正弦值为,若存在,求出求线段的长;若不存在,说明理由.

19．已知圆,点Q在圆上,过Q作y轴的垂线,垂足为,动点P满足,设动点P的轨迹为曲线C.

（1）求曲线C的方程;

（2）斜率存在且不过的直线l与曲线C相交于M、N两点,BM与BN的斜率之积为.

①证明:直线l过定点;

②求面积的最大值.

参考答案

1．答案：C

解析：依题意,,因此,所以的虚部为.

故选:C.

2．答案：D

解析：由题意知：，则，

解得，所以，

所以当或16时，取最小值.

故选：D.

3．答案：B

解析：因为在R上单调递增,且时,单调递增,

则需满足,解得,

即a的范围是.

故选：B.

4．答案：A

解析：因为是等比数列,所以,又,

所以和为方程的两个根,解得,或,.

若等比数列的公比为q,则,所以或.

故选:A.

5．答案：B

解析：设椭圆的长半轴长为a,椭圆的长半轴长为b,半焦距为c,

由图象可得,,

又,,

,

椭圆的长轴长为4,A对,

椭圆的离心率为,B错,

圆的方