专题04 分类加法原理与分步乘法原理（解析版）.docx

11.1分类加法原理与分布乘法原理

编写：廖云波初审：孙锐终审：孙锐廖云波

【学习目标】

1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理

2.会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题

【要点整合】

1．分类加法计数原理

完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法．

2．分步乘法计数原理

完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法．

3．分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别

原理

分类加法计数原理

分步乘法计数原理

联系

两个计数原理都是对完成一件事的方法种数而言

区别一

每类办法都能独立完成这件事，它是独立的、一次的，且每次得到的是最后结果，只需一种方法就可完成这件事

每一步得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事，缺少任何一步也不可，只有各步骤都完成了才能完成这件事

区别二

各类办法之间是互斥的、并列的、独立的

各步之间是相互依存的，并且既不能重复也不能遗漏

【典例讲练】

题型一分类加法计数原理

【例1-1】满足a，b∈{－1,0,1,2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为()

A．14B．13C．12D．10

答案B

解析方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的情况应分类讨论．①当a＝0时，方程为一元一次方程2x＋b＝0，不论b取何值，方程一定有解．此时b的取值有4个，故此时有4个有序数对．

②当a≠0时，需要Δ＝4－4ab≥0，即ab≤1.显然有3个有序数对不满足题意，分别为(1,2)，(2,1)，(2,2)．a≠0时，(a，b)共有3×4＝12个实数对，故a≠0时满足条件的实数对有12－3＝9个，所以答案应为4＋9＝13.

【例1-2】如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1a2，且a2a3，则称这样的三位数为凸数(如120,343,275等)，那么所有凸数的个数为()

A．240B．204C．729D．920

答案A

解析若a2＝2，则百位数字只能选1，个位数字可选1或0，“凸数”为120与121，共2个．若a2＝3，则百位数字有两种选择，个位数字有三种选择，则“凸数”有2×3＝6(个)．若a2＝4，满足条件的“凸数”有3×4＝12(个)，…，若a2＝9，满足条件的“凸数”有8×9＝72(个)．

所以所有凸数有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240(个)．

归纳总结：分类标准是运用分类加法计数原理的难点所在，应抓住题目中的关键词，关键元素，关键位置．

(1)根据题目特点恰当选择一个分类标准．

(2)分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法，不能重复．

(3)分类时除了不能交叉重复外，还不能有遗漏．

【练习1-1】一个旅游景区的游览线路如图所示，某人从P点处进，Q点处出，沿图中线路游览A，B，C三个景点及沿途风景，则不同(除交汇点O外)的游览线路有___种．(用数字作答)

答案48

解析根据题意，从点P处进入后，参观第一个景点时，有6个路口可以选择，从中任选一个，有6种选法；参观完第一个景点，参观第二个景点时，有4个路口可以选择，从中任选一个，有4种选法；参观完第二个景点，参观第三个景点时，有2个路口可以选择，从中任取一个，有2种选法．由分步乘法计数原理知，共有6×4×2＝48(种)不同游览线路．

【练习1-2】将编号1，2，3，4的小球放入编号为1，2，3的盒子中，要求不允许有空盒子，且球与盒子的号不能相同，则不同的放球方法有

A．16种 B．12种

C．9种 D．6种

【答案】B

【解析】由题意可知，这四个小球有两个小球放在一个盒子中，当四个小球分组为如下情况时，放球方法有：

当1与2号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法；

当1与3号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法；

当1与4号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法；

当2与3号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法；

当2与4号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法；

当3与4号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法.

因此，不同的放球方法有2+2+2+2+2+2=12种.故选B.

题型二分步乘法计数原理

【例2-1】如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为()

A．24B．18C．12D．9

答案B

解析从E点到F点的最短