高中数学学案 　组合及组合数的定义.docVIP

4.3组合

第一课时组合及组合数的定义

课标要求1.通过实例理解组合及组合数的概念.2.会解决简单的组合问题.

【知识梳理】

1.组合的概念

一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同的元素，不论次序地构成一组，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.

2.组合数的概念

从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同的元素，所有不同组合的个数叫作从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号Ceq\o\al(m,n)表示.

3.排列与组合之间的联系与区别

相同点

两者都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素

不同点

排列问题中元素有序，组合问题中元素无序

关系

组合数Ceq\o\al(m,n)与排列数Aeq\o\al(m,n)间存在的关系Aeq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(m,n)Aeq\o\al(m,m)

温馨提醒区分一个问题是排列问题还是组合问题，关键是看它有无顺序，有顺序的是排列问题，无顺序的是组合问题.

【自测检验】

1.思考辨析，判断正误

(1)从a，b，c三个不同的元素中任取两个元素的组合有6个.(×)

提示从a，b，c三个不同的元素中任取两个元素的组合有{a，b}，{a，c}，{b，c}3个.

(2)从1，3，5，7中任取两个数相乘可得6个积.(√)

(3)1，2，3与3，2，1是同一个组合.(√)

(4)“10人相互通一次电话，共通多少次电话”是组合问题.(√)

2.以下四个问题，属于组合问题的是()

A.从3个不同的小球中，取出2个排成一列

B.老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌

C.在电视节目中，主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星

D.从13位司机中任选出两位开同一辆车往返甲、乙两地

答案C

解析只有从100位幸运观众中选出2名幸运之星与顺序无关，是组合问题.

3.从5人中选3人参加座谈会，其中甲必须参加，则不同的选法有()

A.60种 B.36种

C.10种 D.6种

答案D

解析甲必须参加，因此只要从除甲之外的4人中选2人即可，有6种不同的选法.

4.甲、乙、丙三地之间有直达的火车，相互之间距离均不相等，则车票票价的种数是____(假设票价只与距离有关).

答案3

题型一对组合概念的理解

例1判断下列问题是排列问题还是组合问题.

(1)a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需比赛多少场？

(2)a，b，c，d四支足球队争夺冠、亚军，有多少种不同的结果？

(3)从全班40人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的选法？

(4)从全班40人中选出3人参加某项活动，有多少种不同的选法？

解(1)单循环比赛要求两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题.

(2)冠、亚军是有顺序的，是排列问题.

(3)3人分别担任三个不同职务，有顺序，是排列问题.

(4)3人参加某项相同活动，没有顺序，是组合问题.

思维升华区分排列与组合的办法是首先弄清楚事件是什么，区分的标准是有无顺序，而区分有无顺序的方法是：把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题.

训练1判断下列问题是排列问题还是组合问题.

(1)集合{0，1，2，3，4}的含三个元素的子集的个数是多少？

(2)某小组有9位同学，从中选出正、副班长各一名，有多少种不同的选法？若从中选出2名代表参加一个会议，有多少种不同的选法？

解(1)由于集合中的元素是无序的，一个含三个元素的集合就是一个从0，1，2，3，4中取出3个数组成的集合.这是一个组合问题.

(2)选正、副班长时要考虑顺序，所以是排列问题；

选代表参加会议是不用考虑顺序的，

所以是组合问题.

题型二组合的个数问题

例2在A，B，C，D四位候选人中.

(1)如果选举正、副班长各一人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果；

(2)如果选举两人负责班级工作，共有几种选法？写出所有可能的选举结果；

(3)类比上述两个结果间的等量关系，你能找出排列数Aeq\o\al(m,n)与组合数Ceq\o\al(m,n)间的等量关系吗？

解(1)从四位侯选人中选举正、副班长各一人是排列问题，有Aeq\o\al(2,4)＝12(种)选法，所有可能的选举结果：AB，AC，AD，BC，BD，CD，BA，CA，DA，CB，DB，DC.

(2)从四位侯选人中选举两人负责班级工作是组合问题，有Ceq\o\al(2,4)＝6(种)选法，所有可能的选举结果：AB，AC，AD，BC，BD，CD.

(3)由(1)(2)我们发现，(2)中每一个组合都对应Aeq\o\al(2,2)个排列，即Aeq\o