27.2.3相似三角形应用举例+教学设计+++2024--2025学年人教版九年级数学下册.docx

课程基本信息

课题

第二十七章相似

27.2相似三角形

27.2.3相似三角形应用举例

教材

人教版九年级下册

教学目标

1.会利用三角形相似的知识解决不能直接测量物体的高度等简单的实际问题；经过把生活实际问题的数学化，培养学生分析问题、解决问题的能力

2.通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型，进一步了解数学建模的思想

3.在利用相似三角形知识解决实际问题的过程中，积累数学基本活动经验，激发学习数学的热情

教学重点

运用相似三角形的性质解决实际问题

教学难点

构造相似三角形解决实际问题

教学过程

知识回顾

提问：相似三角形的判定有哪些？

回答：定义法，对应角相等，对应边的比相等的两个三角形相似

回答：平行法，平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似

回答：三边成比例的两个三角形相似

回答：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似

回答：两角分别相等的两个三角形相似

回答：斜边和任意一条直角边成比例的两个直角三角形相似

提问：相似三角形的性质有什么？

回答：对应角相等，对应边成比例

回答：对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比

回答：周长的比等于相似比

回答：面积的比等于相似比的平方

二、创设情境、引入新课

同学们，你们知道世界现存规模最大的金字塔位于哪个国家吗?这个金字塔的名字是什么?

胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被喻为“世界古代七大奇观之”。据说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度

设计意图：通过情景引入，引发学生的思考，为学习新课做铺垫，培养学生善于思考的习惯，激发学生的学习兴趣

三、合作交流，探究新知

(一)探究测量金字塔高度问题

【情景】胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被誉为“世界古代八大奇迹之一”，古希腊数学家，天文学家泰勒斯曾经利用相似三角形的原理测量金字塔的高度，你能根据图示说出他测量金字塔的原理吗?你还有其它方法吗?

师生活动：教师提出问题，学生尝试通过多种方法解决此问题，再由教师总结常见测量高度的方法

下面是借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度的示意图

原理：在同一时刻，由于太阳光线是平行光线，在同一时刻，有∠BAO=∠EDF，∠AOB=∠DFE=90°可判定△ABO相似△DEF，利用相似三角

形的性质，可得BO/EF=OA/FD，即太阳光下不同物体的高度之比与其影长之比相等

如图，如果木杆EF长2m，它的影长FD为3m，测得OA为201m，求金字塔的高度BO

分析：根据太阳光的光线是互相平行的特点，可知在同一时刻的阳光下，竖直的两个物体的影子互相平行，从而构造相似三角形，再利用相似三角形的判定和性质，根据已知条件，求出金字塔的高度

师生活动：教师提出问题，学生通过以上分析求解，教师通过多媒体给出具体求解过程

如图：木杆EF长2m，它的影长FD为3m，测得OA为201m，求金字塔的高度BO

分析：对于不易到达顶部，不能直接测量的建筑物的高度，需要构造相似三角形进行测高

解：太阳光是平行光线，因此∠BAO=∠EDF

又∠AOB=∠DFE=90°

∴△ABO相似△DEF

∴BO/EF=OA/FD

∴BO=OA×EF÷FD=134m

因此金字塔的高度为134m

方法总结：构造相似三角形，对应边成比例，列方程求解

设计意图：经历知识的探究过程，使学生通过全程参与，掌握知识，培养数学核心素养和能力

(二)探究测量河宽问题

例：如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R。如果测得QS=45m，ST=90m，QR=60m，求河的宽度PQ

教师分析：构造相似三角形的步骤

在过点S作直线a，使a⊥PS

(2)在直线a上选择适当的点T，连接PT交直线b于点R

计算方法

(1)先测量出QS、ST、QR的长

(2)利用对应边成比例，列方程求解

教师引导学生从上面的操作中得到比例关系，列方程求解，然后规范地写出证明过程

解：∵∠PQR=∠PST=90°，∠P=∠P

∴△PQR相似△PST

∴PQ/PS=QR/ST

即PQ/（PQ+QS）=QR/ST，PQ/（PQ+45）=60/90，PQ×90=（PQ+45）×60

解得PQ=90(m)

答：河宽大约是90m

设计意图：经历知识的探究过程，使学生通过全程参与，掌握知识，培养数学核心素养和能力，学生先小组讨论；通过例题进一步完善学生们的想法，让学生体会用数学知识解决实际问题的成就感和快乐

方法总结：利用相似三角形可以解决下