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选修四系列

选修4—1：几何证明选讲

1、（中原名校2013年高考压轴考试数学文）如图所示，已知PA是⊙O切线，A为切点，PBC为割

线，弦CD∥AP,AD、BC相交于E点，F为CE上一点，

2

且DE＝EF·EC．

（1）求证：A、P、D、F四点共圆；

（2）若AE·ED＝24，DE＝EB＝4，求PA的长．

答案：（1）略（2）PA=53

2DEEF

【解析】（1）∵DE=EF·EC，∴=,

CEED

又∠DEF=∠CED,

∴△DEF∽△CED,∠EDF=∠ECD,

又∵CD∥PA,∴∠ECD=∠P,

故∠P=∠EDF,所以A、P、D、F四点共圆5分

(2)由（1）及相交弦定理得PE·EF=AE·ED=24，

又BE·EC=AE·ED=24，

DE28

∴EC=6,EF=,PE=9,PB=5,PC=PB+BE+EC=15,

EC3

由切割线定理得PA2=PB·PC=5×15=75,

所以PA=5310分

【知识点】本题主要考查圆的切割线的性质以及四点共圆的证明。

【难度】★

ΘO于点E，割线PBA交ΘO于A、B

2、（商丘市2013年高三第三次文科数学）如图，已知PE切

两点，∠APE的平分线和AE、BE分别交于点C、D。

（1）CE=DE；

CAPE

（2）=。

CEPB

答案：（1）略（2）略

解：（Ⅰ）PE切⊙O于点∴∠E，=∠ABEP.……………2分

PC平分∠APE∴∠A+∠CPA=∠BEP+∠DPE.……4分

∠ECD=∠A+∠=∠BEP+∠DPE，

∴∠ECD=∠EDC,∴EC=ED.…………………5分

（Ⅱ），………………6分

∠PDB=∠EDC,∠EDC=∠ECD,∠PDB=∠PCE

PEPC

∴∠BPD=∠EPC,∴ΔPBD∽ΔPEC，∴=.………………7分

PBPD

PCCA

同理ΔPDE∽ΔPCA，∴=，……………………8分

PDDE

PECA

∴=.………………9分

PBDE

CAPE

DE=CE,∴=.…………………10分

CEPB

【知识点】本题主要考查圆的切割线定理以及相似三角形的应用。

【难度】★★

3、（2013年郑州市高中毕业年级第三次质量预测）如图，AB是0的一条切线，切点为B，直线ADE，

CFD，CGE都是O的割线，已知AC=AB.

(1)求证：FG//AC;

DE

(II)