2024-2025学年湖南省长沙市第一中学高二（上）期末考试数学试题（学生版+解析版）.docx

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2024-2025学年湖南省长沙市第一中学高二（上）期末考试数学试题

时量：120分钟满分：150分

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.抛物线的焦点坐标为（）

A. B. C. D.

2.某大学开设篮球、足球等5门球类选修课，要求每个学生都必须选择其中的一门课程.现有小明、小强、小红3位同学进行选课，其中小明不选篮球和足球，则不同的选课方法共有（）

A.36种 B.50种 C.75种 D.125种

3.已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（）

A.函数有最小值

B.函数有最大值

C函数有且仅有三个零点

D函数有且仅有两个极值点

4.在等比数列中，已知，，则公比（）

A. B. C.2 D.

5.已知抛物线的焦点为，点为抛物线上动点，点为圆上动点，则的最小值为（）

A.5 B.4 C.3 D.2

6.已知函数（）有三个不同的零点，则实数的取值范围是（）

A. B. C. D.

7.已知函数，，则函数的极大值之和为（）

A. B. C. D.

8.已知某正三棱柱的外接球的表面积为，则该正三棱柱的体积的最大值为（）

A. B. C. D.

二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.以下四个命题表述正确的是（）

A.圆的圆心到直线的距离为2

B.直线恒过定点

C.圆与圆恰有三条公切线

D.圆与的公共弦所在直线方程为

10.已知曲线：，则下列判断正确的是（）

A.曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形

B.曲线上的点与原点的最小距离为

C.曲线在第一、四象限的任意一点到点的距离与其横坐标之差为定值

D.直线：，则该直线与曲线无公共点的充要条件为且

11.已知正项数列满足，，记，，则（）

A.是等差数列 B.

C. D.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.若曲线在处的切线的倾斜角为，则______.

13.若不等式对于任意正整数恒成立，则实数取值范围是______.

14.已知双曲线：（，）的右焦点为，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，若直线与双曲线的另一条渐近线交于点，且（为坐标原点），则双曲线的离心率为______.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.在中，，，为边上一点，且平分.

（1）若，求；

（2）若，求线段的长.

16.如图，三棱锥由三个以为公共直角顶点的直角三角板拼成，其中直角三角板和为两个全等的直角三角板，且，，分别为，的中点，平面与平面的交线为.

（1）证明：平面；

（2）点在直线上，直线与直线的夹角为，直线与平面的夹角为，是否存在点，使得.如果存在，请求出；如果不存在，请说明理由.

17.已知等差数列的首项，公差为（），其前项和为，.

（1）求证：数列是等差数列；

（2）若也是等差数列，求数列的前项和.

18.在平面直角坐标系中，为双曲线：（，）的右焦点，以为圆心，1为半径的圆与双曲线的渐近线相切.

（1）求方程；

（2）记的左、右顶点为，，弦轴，记直线与直线交点为，其轨迹为曲线.

（ⅰ）求的方程；

（ⅱ）直线，是曲线的任意两条切线，且，试探究在轴上是否存在定点，满足点到，的距离之积恒为1？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

19.设函数（）.

（1）当时，讨论函数的单调性；

（2）当时，曲线与直线交于，两点，求证：；

（3）证明：（，）

长沙市第一中学2024—2025学年度高二第一学期期末考试

数学

时量：120分钟满分：150分

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.抛物线的焦点坐标为（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】将抛物线方程化为标准方程，即可求其焦点坐标.

【详解】由可得，

所以抛物线开口向上且，

所以，所以焦点坐标为.

故选：C.

2.某大学开设篮球、足球等5门球类选修课，要求每个学生都必须选择其中的一门课程.现有小明、小强、小红3位同学进行选课，其中小明不选篮球和足球，则不同的选课方法共有（）

A.36种 B.50种 C.75种 D.125种

【答案】C

【解析】

【分析】利用分步乘法计数原理计算即可得.

【详解】因为小明不选篮球和足球