高一数学函数单调性与奇偶性.docVIP

函数单调性

知识梳理

1.单调性的意义：

所谓单调性，即指当函数自变量发生变化时，因变量的变化同自变量变化是同个方向还是相反方向。

〔1〕假设是相同方向，即y与x相同方向变化，为增函数；

〔2〕假设是相反方向，即y与x相反方向变化，为减函数；

2.函数单调性的证明方法：

增函数：假设对于定义域内的某个区间上的任意两个自变量，当时，都有，那么称函数在区间上是增函数。

减函数：假设对于定义域内的某个区间上的任意两个自变量，当时，都有，那么称函数在区间上是减函数。

证明格式：

取任意两个数属于定义域D，且令〔反之亦可〕；

作差并因式分解；

判定的正负性，并由此说明函数的增减性；

用定义法判定以下函数的增减性：

①；②；③；④；⑤；

练习：1.判断函数在定义域上的单调性；

2.证明函数在R上是增函数；

函数，求证：函数的单调减区间为，增区间为，并画出图像；

练习：证明函数在上是增函数。

3.复合函数的单调性

复合函数的单调性判断〔同增异减〕：构造中间过度函数，按定义比拟函数大小并确定函数的单调性；

判断函数的单调性：

〔1〕；〔2〕；〔3〕；

练习：①；②；③；④；

4.函数的单调性的等价关系

设那么

上是增函数；

上是减函数。

定义在〔a，c〕上的函数f(x)，在区间〔a，b〕及〔b，c〕上均为增函数，函数f(x)在区间〔a，c〕上是否为增函数如何？请举例说明。

定义在R上的函数,,当时，且对任意的都有

(1)求证：；

(2)求证：对任意的恒有；

(3)求证：f(x)是R上的增函数；

(4)假设,求的取值范围

相关练习

1、设的图像关于原点对称，且在内是增函数，又，那么的解集是………………()

AB

C D

2、假设的图像关于y轴对称，且在上是减函数，那么的大小关系…()

AB

CD

3、函数在上是增的，那么……()

A B C D

4、假设函数f(x)关于y轴对称，在时是增的，试解关于a的不等式：f(a-2)+f(a2-4)＜0。

5、函数f〔x〕对任意实数x、y均有f〔x＋y〕＝f〔x〕＋f〔y〕，且当x0时，f(x)0，f(－1)＝－2

(1)判断f(x)的单调性;

(2)求f(x)在区间[－2,1]上的值域.

函数奇偶性

知识梳理

图像性质引入：

观察分析以下函数图像所具有的对称性

〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕；

定义：图像关于y轴对称的函数叫偶函数，如；图像关于原点对称的函数叫奇函数，如；

思考：有没有函数既关于y轴对称，又关于原点对称？

函数奇偶性的判定：

偶函数：如果对于定义域内的任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数。

奇函数：如果对于定义域内的任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数。

判断以下函数的奇偶性：

〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕；

练习

1．判断以下函数的奇偶性：

〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕；

2．函数是奇函数，那么函数是_______函数；函数是_______函数；

3．设函数在R上有定义，以下函数①，②，③，④中必为奇函数的有________

函数是奇函数，当时函数的解析式为，求：

以及当时的解析式；

性质应用：函数是偶函数，假设，那么，

函数是偶函数，且当时函数为增函数，证明：当时函数为减函数；

练习

1．函数是奇函数，且当时函数为增函数，证明：当时函数也为增函数；〔问函数在整个R上是增函数吗？试用定义说明〕

设函数为奇函数，那么___________。

练习

1．假设函数是偶函数，那么的单调减区间是_________________

2．假设函数是偶函数，那么的递减区间是_____________

3．函数是定义域为的偶函数，那么的值是〔〕

A．0B．C．1D．

4．函数为偶函数，那么的值是〔 〕

A B C D

5．函数是偶函数，那么=

设其中为常数，如，那么等于_______________

练习

1.设其中为常数，如，那么等于〔 〕

A.－17 B.－7 C.14 D.21

2.如果偶函数在具有最大值，那么该函数在有〔 〕

A．最大值B．最小值 C.没有最大值 D.没有最小值

3.是定义在上的偶函数，它在上递减，那么一定有〔