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计数问题方法与技巧

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计数问题方法与技巧

计数问题方法与技巧

计数问题是组合数学中最基本、最重要且应用十分广泛的一类问题。所谓计数问题就是用数学方法解决现实生活中的物品分配和计数问题。例如：从n个不同元素中取出m个元素的问题，就是从n个元素中取出1个元素，取出2个元素……，取出m个元素的问题。这种计数问题一般都用枚举法、分组法、插板法或排列组合等方法求解。其中应用排列组合的思想方法可以简洁明快的解决一些问题。本文介绍几个典型的计数问题的解题方法和技巧。

一、排列问题的计数方法

例：现将20张电影拷贝（这些拷贝不属于同一个班级），分给5个班级，并且要求每班至少有2张拷贝，那么不同的分法有多少种？

分析：本题是典型的排列问题，可用插板法求解。

解：将20个电影拷贝分成5份，中间用板隔开，共有21个空隙，然后在21个空隙中插入4块板即可分成5份，共有N=C214=5+4+3+2+1=15种分法。

二、组合问题的计数方法

例：现将4本不同的语文书和3本不同的数学书排成一列，要求语文书必须不相邻，那么不同的排法有多少种？

分析：本题是典型的组合问题，可采用插空法进行求解。

解：将三本数学书排成一列有A33种排法，然后将四本语文书插入到三本数学书的四个空隙中，由于语文书要求不相邻，因此应采用插空法，有A44种排法，因此共有A33A44=72种不同的排法。

三、捆绑法

例：现将3个男生和2个女生按要求排队，要求两个女生必须相邻且不能与男生同时出现，那么不同的排队方案有多少种？

分析：本题要求两个女生必须相邻且不能与男生同时出现，因此可以将两个女生捆绑在一起看做一个整体，再与三个男生进行排队即可。

解：由于要求两个女生必须相邻且不能与男生同时出现，因此可以将两个女生捆绑在一起看做一个整体，再与三个男生进行排队，共有A33A22A33A22=144种不同的排队方案。

四、间接法

例：现将4本不同的语文书和6本不同的数学书分给5个同学，每个人至少一本语文书和数学书且书的分配各不相同，那么共有多少种不同的分配方案？

分析：本题可采用间接法进行求解。首先将语文书和数学书分组后进行分配，再排除语文书的分配方案即可。

解：首先将语文书和数学书分成两类，每类各取一本组成一组，共有C41C61种分组方案；再将5个同学分成两组进行分配，共有C52种分配方案；再排除语文书的分配方案有C41种情况；因此共有C41C61C52-C41=780种不同的分配方案。

五、相邻问题分类讨论法

例：现将n个不同的元素排成一列，要求前k个元素中相邻的元素有几种不同的排法？

分析：本题可采用分类讨论的思想方法进行求解。

解法一：当n=k+1时，有k个元素相邻的排法为Akk+k!=k!；当nk时，由于n个数中没有相邻的元素的要求，因此可将n个数分成k个数组和一个公共部分（第一组的前一个元素）进行排列即可得$A_{k}^{n}$；综上所述当n=k时共有$k!$种排法；当nk时共有$A_{k}^{n}$种排法。因此共有$A_{k}^{n}=A_{k}^{n}$种不同的排法。

解法二：对于第k个位置上的元素可选择将其放在第一个位置上也可选择不放在第一个位置上（记为k-），对于不放在第一个位置上的情况有$C_{n-k}^{1}$种选择（即选择其他位置作为第一个位置），因此共有$C_{n-k}^{1}A_{k-}^{n-k}$种不同的排法；对于选择放在第一个位置上的情况有$A_{k-}^{k}$种不同的排法（即只有一种选择），因此共有$A_{k-}^{n-k}$种不同的排法；综上所述共有$C_{n-k}^{1

计数问题方法与技巧

计数问题是计算机科学中的一个重要问题，涉及到很多不同的场景和应用。本文将介绍一些常用的计数问题解决方法，并给出一些技巧，帮助读者更好地解决计数问题。

一、基础方法

1.枚举法

枚举法是最基本的计数方法之一，适用于一些简单的计数问题。它通过逐个列举所有可能的方案，然后进行计数。例如，要计算从1到n之间有多少个不同的数，可以逐个列举所有可能的数，得到n!个不同的数。

2.排列组合法

排列组合法是一种常用的计数方法，适用于一些特定场景下的计数问题。它通过将问题分解为不同的组合或排列方式，分别进行计数，最后再将结果进行合并。例如，要计算从n个元素中选取k个元素的组合数，可以使用排列组合法得到C(n,k)个组合数。

二、动态规划法

动态规划法是一种常用的优化计数问题的方法，适用于一些具有重叠子问题和最优子结构特性的问题。它通过将问题分解为一系列子问题，并逐步求解子问题，最终得到问题的解。这种方法可以避免重复计算子问题的解，提高算法的效率。例如，要计算斐波那契数列的前n项，可以使用动态规划法将问题分解为一系列子问题，并逐步求解得到最终结果。

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