27.2.2++相似三角形的性质+教案+++2024--2025学年人教版九年级数学下册+.docx

课程基本信息

课题

第二十七章相似

27.2相似三角形

27.2.2相似三角形的性质

教材

人教版九年级下册

教学目标

1.理解并掌握相似三角形的对应高、中线、角平分线的性质

2.理解并掌握相似三角形的周长与面积的性质

3.灵活运用相似三角形的判定和性质解决相关问题，提高分析，推理能力

教学重点

相似三角形性质定理的探索及应用

教学难点

综合应用相似三角形的性质与判定探索三角形中面积之间的关系

教学过程

一、创设情境、引入新课

问题：三角形中有各种各样的几何量，你能说出来吗？

学生思考交流，互相补充，列举出几何量

回答：三条边的长度，三个内角的度数，高、中线、角平分线的长度，以及周长、面积等

问题：如果两个三角形相似，那么它们的这些几何量之间有什么关系呢？

根据三角形相似的定义可知，相似三角形的对应角相等，对应边成比例

下面，我们研究相似三角形的其他几何量之间的关系

设计意图：设计体现了几何图形研究的基本套路，立足于学生的可持续发展，能激发学生研究的兴趣

二、探究新知

问题：如图，△ABC相似△A’B’C’，相似比为k，它们对应高、对应中线对应角平分线的比各是多少?小组讨论，学生证明

如图，分别作△ABC和△A’B’C’的对应高AD和AD

解：∵△ABC相似△A’B’C’

∴∠B=∠B’

又∵△ABD和△A’B’D’都是直角三角形

∴△ABD相似△A’B’D’

∴AD/A’D’=AB/A’B’=k

类似地，可以证明相似三角形对应中线的比，对应角分平分线的比都等于相似比。

一般地，我们有，相似三角形对应线段的比等于相似比

设计意图：由相似三角形对应高的比等于相似比类比，得到对应中线、角平分线的比等于相似比，进而归纳出对应线段的比等于相似比，用利于学生归纳得出一般结论

问题：如果△ABC相似△A’B’C’，相似比为k，它们的周长有什么关系?解：∵△ABC相似△A’B’C’，相似比为k

∴AB/A’B’=BC/B’C’=CA/C’A’=k

即AB=kA’B’，BC=kB’C’，CA=kC’A’

△ABC的周长/△A’B’C’的周长=（AB+BC+AC）/（A’B’+B’C’+A’C’）=（kA’B’+kB’C’+kA’C’）/（A’B’+B’C’+A’C’）=k×k=k2

结论：相似三角形周长的比等于相似比

这样，我们得到：相似三角形周长的比等于相似比

师生活动：教师提出问题，先让学生大胆猜想，再通过推理验证猜想的结论，在小组内与其他同学交流，归纳结论，教师让学生书写证明过程

教师引导学生推理验证结论(先由三角形相似得到对应边的比，再得周长的比的关系)，学生思考、分析、写出证明过程，小组交流，教师引导学生类比相似三角形得到相似多边形的性质“相似多边形周长的比等于相似比”

设计意图：求对应周长的比可以看作是相似三角形对应线段的比等于相似比的应用

问题：△ABC相似△A’B’C’，相似比为k，△ABC与△A’B’C’的面积比是多少?

师生活动：我们已经知道相似三角形对应线段的比等于相似比，可将三角形的面积往对应线段上转化

解：分别作出△ABC和△A’B’C’的高AD和A’D’

解：∵△ABC相似△A’B’C’

∴∠B=∠B’

又∵△ABD和△A’B’D’都是直角三角形

∴△ABD相似△A’B’D’

∴AD/A’D’=AB/A’B’=k

△ABC的面积/△A’B’C’的面积=（0.5×BC×AD）/（0.5×B’C’×A’D’）=（BC×AD）/（B’C’×A’D’）=k×k=k2

结论：相似三角形面积比等于相似比的平方

设计意图：在对相似三角形对应周长的比等于相似比的探究基础上，进一步运用转化的思想解决面积的比的问题，从一维到二维，让学生深入体会相似比的应用

三、举例分析

例：如图，在△ABC和△DEF中，AB=2DE，AC=2DF，∠A=∠D，△ABC的边BC上的高是6，面积是125，求△DEF的边EF上的高和面积

解：在△ABC和△DEF中

∵AB=2DE，AC=2DF

∴DE/AB=DF/AC=0.5

又∠A=∠D

∴△DEF相似△ABC，△DEF与△ABC的相似比为0.5

∵△ABC的边BC上的高为6，面积为125

∴△DEF的边EF上的高为6×0.5=3

面积为0.5×0.5×125=35

师生活动：师生一起分析△ABC和△DEF具有什么关系，相似三角形的对应高，对应面积有什么关系?

设计意图：进一步巩固两三角形相似的判定方法，初步学会运用新知求三角形的对应线段的长度和面积

四、课堂练习

1.判断题

(1)一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，这个三角形的角平分线也扣大为原来的5倍（）

(2)一个三角形的各边长扩大为原来的9倍，这个三角形的面积也扩大为原来的9倍（）

2.△ABC与△A’B’C’的相似比为3