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不等式证明
例1：设，求证：
分析：发现作差后变形、判断符号较为困难。考虑到两边都是正数，可以作商，判断比值与1的大小关系，从而证明不等式。
证明：，∵，∴∴
∴又∵，∴。
说明：本题考查不等式的证明方法——比较法(作商比较法)。作商比较法证明不等式的步骤是：判断符号、作商、变形、判断与1的大小。
例2：对于任意实数、，求证（当且仅当时取等号）。
分析：这个题若使用比较法来证明，将会很麻烦，因为，所要证明的不等式中有，展开后很复杂。若使用综合法，从重要不等式：出发，再恰当地利用不等式的有关性质及“配方”的技巧可得到证明。
证明：∵（当且仅当时取等号）
两边同加，即：（1）
又：∵（当且仅当时取等号），
两边同加
∴，∴（2）
由（1）和（2）可得（当且仅当时取等号）。
说明：此题参考用综合法证明不等式。综合法证明不等式主要是应用均值不等式来证明，要注意均值不等式的变形应用，一般式子中出现有平方和乘积形式后可以考虑用综合法来解。
例3：若，证明，（且）。
分析1：用作差法来证明。需分为和两种情况，去掉绝对值符号，然后比较法证明。
解法1：当时，因为，
所以。
当时，因为，
所以。
综上，。
分析2：直接作差，然后用对数的性质来去绝对值符号。
解法2：作差比较法。因为
，
所以。
说明：解法1用分类相当于增设了已知条件，便于在变形中脱去绝对值符号；解法2用对数性质（换底公式）也能达到同样的目的，且不必分而治之，其解法自然简捷、明快。
补充：（比较法）已知，求证：。
解法1：。
因为，所以，，所以，
所以，，命题得证。
解法2：因为，所以，，
所以，，
由解法1可知：上式。故命题得证。
例4：已知、、，，求证
分析显然这个题用比较法是不易证出的。若把通分，则会把不等式变得较复杂而不易得到证明。由于右边是一个常数，故可考虑把左边的式子变为具有“倒数”特征的形式，比如，再利用“均值定理”就有可能找到正确的证明途径，这也常称为“凑倒数”的技巧。
证明：∵∴
∵，同理：，。
∴
说明：此题考查了变形应用综合法证明不等式。题目中用到了“凑倒数”，这种技巧在很多不等式证明中都可应用，但有时要首先对代数式进行适当变形，以期达到可以“凑倒数”的目的。
例5：已知，求证：0。
分析：此题直接入手不容易，考虑用分析法来证明，由于分析法的过程可以用综合法来书写，所以此题用两种方法来书写证明过程。
（分析法书写过程）证明1：为了证明0
只需要证明
∵∴∴0
∴成立∴0成立
（综合法书写过程）证明2：∵∴
∴，0，∴成立，∴0成立
说明：学会分析法入手，综合法书写证明过程，但有时这两种方法经常混在一起应用，混合应用时，应用语言叙述清楚。
例6：已知，求证：。
分析：欲证不等式看起来较为“复杂”，宜将它化为较“简单”的形式，因而用分析法证明较好。
证明：欲证，只须证。
即要证，即要证。
即要证，即要证。
即要证，即，即要证（*）
∵，∴（*）显然成立，故
说明：分析法证明不等式，实质上是寻求结论成立的一个充分条件。分析法通常采用“欲证—只要证—即证—已知”的格式。
例7：设是正整数，求证。
分析：要求一个项分式的范围，它的和又求不出来，可以采用“化整为零”的方法，观察每一项的范围，再求整体的范围。
证明：由，得。
当时，；当时，
当时，，∴。
说明1：用放缩法证明不等式，放缩要适应，否则会走入困境。例如证明。由，如果从第3项开始放缩，正好可证明；如果从第2项放缩，可得小于2。当放缩方式不同，结果也在变化。
说明2：放缩法一般包括：用缩小分母，扩大分子，分式值增大；缩小分子，扩大分母，分式值缩小；全量不少于部分；每一次缩小其和变小，但需大于所求，第一次扩大其和变大，但需小于所求，即不能放缩不够或放缩过头，同时放缩后便于求和。
例8：求证。
证明：∵，
∴。
说明：此题证明过程并不复杂，但思路难寻。本题所采用的方法也是解不等式时常用的一种方法，即放缩法。这类题目灵活多样，需要巧妙变形，问题才能化隐为显，这里变形的这一步极为关键。
例9：证明不等式：，。
讲解：此题为与自然数有关的命题，故可考虑用数学归纳法证明。
解法1：①当时命题成立。
②假设时命题成立，即：。
则当时，不等式的左端
不等式的右端。
由于
。
所以，，即时命题也成立。
由①②可知：原不等式得证。
从上述证法可以看出：其中用到了这一事实，从而达到了和之间的转化，也即和之间的转化，这就提示我们，本题是否可以直接利用这一关系进行放缩？观察原不等式，若直接证明，直接化简是不可能的，但如果利用进行放缩，则可以达到目的，由此得解2。
解法2：因为对于任意自然数，都有，所以，，从而不等式得证。
推理与证明
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有
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