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臣心一片磁针石，不指南方不肯休。——文天祥

微积分大一知识点总结简单

微积分是数学中的一门重要学科，也是大学数学课程中不可或

缺的一部分。它是研究函数的变化规律和求解各种数学问题的工

具。在大一的微积分课程中，我们学习了一些基本的微积分知识

点，本文将对这些常见且简单的大一微积分知识进行总结。

一、函数与极限

在微积分的学习中，函数与极限是最基础的概念之一。函数可

以看作是两个集合之间的一种特殊关系，它描述了自变量和因变

量之间的对应关系。而极限是用来描述一个函数在某一点处的趋

势和性质的概念。

1.函数的定义

函数是指在一个集合内部，每个自变量都与唯一的因变量对应。

函数可以用数学公式表示，例如y=f(x)，其中x是自变量，y是因

变量，f(x)表示函数表达式。

2.极限的定义

极限是用来描述函数在某个点附近的性质。设函数f(x)在点

x=a的某个去心邻域内有定义，如果存在常数A，对于任意给定的

乐民之乐者，民亦乐其乐；忧民之忧者，民亦忧其忧。——《孟子》

正数ε，总存在正数δ，使得当自变量x满足0|x-a|δ时，都有

|f(x)-A|ε。则称常数A是函数f(x)当x趋于a时的极限，记作

lim(f(x))=A。

二、导数与微分

导数与微分是微积分中的重要概念，它们可以用来研究函数的

变化率和函数在某一点的性质。

1.导数的定义

函数在某一点的导数描述了函数在该点处的变化率。设函数

y=f(x)，如果当自变量x沿着某个方向趋近于某一点a时，函数值

f(x)的变化具有确定的趋势，即当x趋近于a时，有极限lim[(f(x)-

f(a))/(x-a)]存在，则称函数在点a处可导，其导数为f(a)，即

f(a)=lim[(f(x)-f(a))/(x-a)]。

2.微分的定义

微分是导数的微小变化量，它描述了函数在某一点处的局部线

性逼近。函数f(x)在点x=a处的微分表示为df，满足df=f(a)dx，

其中dx是自变量的微小增量。

好学近乎知，力行近乎仁，知耻近乎勇。——《中庸》

三、积分与定积分

积分与定积分是微积分中的另外两个重要概念，它们可以用来

求解曲线下的面积和函数的反导函数。

1.积分的定义

函数的积分可以理解为求解函数的反导函数的逆运算。设F(x)

是函数f(x)在区间[a,b]上的一个原函数，如果在区间[a,b]上f(x)是

连续的，那么函数f(x)在区间[a,b]上的积分可以表示为∫[a,

b]f(x)dx=F(b)-F(a)。

2.定积分的定义

定积分是将某个函数在给定区间上的积分结果值化为具体的数

值。设函数f(x)在区间[a,b]上连续，将区间[a,b]平分为n个小区

间，每个小区间长度为Δx=(b-a)/n，取小区间内任意一点ξi，那么

函数f(x)在区间[a,b]上的定积分可以表示为∫[a,

b]f(x)dx=lim[n→∞]∑[i=1ton]f(ξi)Δx。

综上所述，微积分大一知识点总结了函数与极限、导数与微分、

积分与定积分等基本概念和定义。这些知识点作为微积分的基础，

为我们后续的学习打下了坚实的基础。熟练掌握这些知识点，并

子曰:“知者不惑，仁者不忧，勇者不惧。”——《论语》

能够灵活运用于实际问题的求解中