矩阵分析考试重点.pptxVIP

编号;编号;习题1-5;编号;习题1-7;;编号;编号;编号;编号;编号;编号;编号;编号;2-2设，证明：阶矩阵

与

相似。;证明：计算A的行列式因子。显然

下面看阶行列式因子。有一个

阶子式要注意，即;容易计算出从而;2-3设证明阶矩阵

与

不相似。;编号;正整数使得，证明：与对角矩阵相似且主对角线上的元素均为次单位根。

证明：设的Jordan标准形为

;即有可逆矩阵使得

由于，所以有

从而有;因此，只有当为一阶矩阵时上面的矩阵等式

才成立，这样有，这表明为对角矩

阵，所以与对角矩阵相似。

;编号;即有可逆矩阵使得

由于，所以有;从而即;因此，只有当为一阶矩阵时上面的矩阵等式才成立且，所以有

这说明为一个对角矩阵且主对角线上的元素只能为1或0，适当地调换主对角线上的元素次序可以得到方阵;

作业2-9试写出Jordan标准形均为

的两个矩阵。;解答：;编号;

3-17设是一个正定的H-阵,是一个反H-阵,证明:与的特征值实部为零.

证明:设为矩阵的任意一个特征值,那么有.由于是一个正定H-阵,所以存在可逆矩阵使得

将其代入上面的特征多项式有;这说明也是矩阵的特征值.另一方面注意矩阵为H-反阵,从而实部为零.

同样可以证明另一问.;

习题3-19设是一个半正定的H-阵且证明:

证明:设为的全部特征值,由于是半正定的,所以所有的.而且由于

，一定存在某个特征值大于0，于是有;习题3-20设是一个半正定的H-阵且

是一个正定的H-阵,证明:

证明:由于是一个正定的H-阵,所以存在可逆矩阵使得

这样有;注意矩阵

仍然是一个半正定的H-阵,有上面的例题可知

从而;

3-21设是一个正定的H-阵,且又是酉矩阵,则

证明:由于是一个正定H-阵,所以必存在;由于又是酉矩阵,所以

;3-22证明：

（1）半正定H-矩阵之和仍然是半正定的;

（2）半正定H-矩阵与正定H-阵之和是正定的;

证明：设都是半正定H-阵，那么二者之和仍然是一个H-阵，其对应的Hermite二次型为

其中;由于都是半正定H-矩阵，所以对于任意一组不全为零的复数

我们有

这说明为一个半正定H-阵。

类似地，可以证明另外一问。;习题3-23设是一个正定的H-阵,是一个反H-阵,证明:是可逆矩阵.

证明:由于是一个正定H-阵,所以存在可逆矩阵使得

这表明是可逆的.于是

另一方面注意矩阵仍然为正定H-阵,而矩阵为H-反阵,由上面的例题结论可知;矩阵的特征值实部为零,那么矩阵

的特征值中不可能有零,从而

即

所以可逆;编号