甘肃省多校2024-2025学年高三上学期1月期末联考数学试卷(含答案).docxVIP

甘肃省多校2024-2025学年高三上学期1月期末联考数学试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1．设集合，，则()

A. B. C. D.

2．在复平面内，复数对应的点位于()

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，则外接圆的半径为()

A. B. C.6 D.12

4．直线被圆截得的弦长为()

A. B. C. D.

5．已知，则()

A. B. C. D.

6．某学习小组研究一种如图1所示的卫星接收天线，发现其轴截面为如图2所示的抛物线，在轴截面内的卫星信号波束呈近似平行的状态射入，经反射聚焦到焦点F处，已知卫星接收天线的口径（直径）为10m，深度为3m，则该卫星接收天线轴截面所在的抛物线焦点到顶点的距离为()

A. B. C. D.

7．已知函数满足，且，，则a的取值范围为()

A. B. C. D.

8．已知正三棱锥的体积为，则该三棱锥外接球的表面积为()

A. B. C. D.

二、多项选择题

9．某地种植的新品种哈密瓜获得了丰收，随机从采摘好的哈密瓜中挑选了100个称重（单位：kg），并整理数据，得到如下频率分布直方图.根据此频率分布直方图，下面结论正确的是()

A.

B.估计该哈密瓜的质量不低于1.6kg的比例为

C.估计有一半以上的该哈密瓜的质量介于1.4kg至1.6kg之间

D.估计该哈密瓜的质量的中位数介于1.5kg至1.6kg之间

10．若，则()

A. B.

C. D.

11．若函数图像的一条对称轴方程为，则()

A.

B.

C.图像的一条对称轴为直线

D.在上单调递增

三、填空题

12．椭圆的两个焦点为，，椭圆C上有一点P，则的周长为_________.

13．已知向量，，若，则_________.

四、双空题

14．已知函数，则函数的最小值为_________；若过原点可向曲线作两条切线，则a的取值范围是_________.（注：当时，）

五、解答题

15．已知等差数列的前n项和为，且.

(1)求的通项公式；

(2)若，求数列的前n项和.

16．现在很多市民都喜欢骑“共享单车”，但也有很多市民并不喜欢.为了调查人们是否喜欢这种交通方式，某同学从交通拥堵严重的A城市和交通拥堵不严重的B城市随机调查了100名市民，得到了一个市民是否喜欢骑“共享单车”的样本，具体数据如下列联表：

A

B

总计

喜欢

40

10

50

不喜欢

20

30

50

总计

60

40

100

(1)根据列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为喜欢骑“共享单车”与城市的拥堵情况有关联？

(2)为进一步了解A城市的拥堵情况，该同学从样本中A城市的市民中按是否喜欢利用分层随机抽样的方法抽取6人，并从这6人中选出2人代表发言，记代表发言中喜欢骑“共享单车”的人数为X，求随机变量X的分布列及数学期望.

附表格及参考公式：，其中.

0.1

0.05

0.01

0.005

0.001

2.706

3.841

6.635

7.879

10.828

17．已知函数.

(1)若在处取得极值，求实数a的值；

(2)若恒成立，求实数a的取值范围.

18．如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，侧面PCD为正三角形，且平面平面ABCD，，，，.

(1)证明：.

(2)已知Q为侧棱PB上一点，平面QAC.

①求的值；

②求直线DQ与平面QAC所成角的正弦值.

19．已知双曲线的左，右顶点分别为，，左焦点为，O为坐标原点，是线段OM的中点.

(1)求双曲线的离心率.

(2)过点M且斜率不为0的直线l与双曲线的左，右两支的交点分别为Q，P.

①若直线l的斜率为1，，求双曲线的方程；

②连接QO并延长，交双曲线于点R，证明：.

参考答案

1．答案：C

解析：因为，

所以.

故选：C.

2．答案：B

解析：因为，

所以复数在复平面上的对应的点的坐标为，

所以其对应的点位于第二象限.

故选：B.

3．答案：A

解析：设外接圆的半径为R，

则，即.

故选：A.

4．答案：D

解析：圆C的圆心为，半径为3，圆心到直线l的距离，

所以直线l被圆C截得的弦长为.

故选：D

5．答案：C

解析：因为，

所以.

因为，

所以.

故选：C.

6．答案：B

解析：由题意建立如图所示的平面直角坐标系，

设抛物线的方程为.

由题意可得，将点A的坐标代入抛物线的方程可得，

解得，所以抛物线的方程为，

焦点的坐标为，即，

所以抛物线焦点到顶点的距离为.

故选：B.

7．答案：C

解析：依题意，函数满足，

且，，

则是R上的增函数，

因此，

解得