专题五　第2讲　随机变量及其分布.docx

第2讲随机变量及其分布

[考情分析]离散型随机变量的分布列、均值、方差和概率的计算问题常常结合在一起进行考查，重点考查超几何分布、二项分布及正态分布，以解答题为主，中等难度．

考点一分布列的性质及应用

核心提炼

离散型随机变量X的分布列为

X

x1

x2

…

xi

…

xn

P

p1

p2

…

pi

…

pn

则(1)pi≥0，i＝1,2，…，n.

(2)p1＋p2＋…＋pn＝1.

(3)E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn.

(4)D(X)＝[x1－E(X)]2p1＋[x2－E(X)]2p2＋…＋[xn－E(X)]2pn.

(5)若Y＝aX＋b，

则E(Y)＝aE(X)＋b，

D(Y)＝a2D(X)．

例1(1)(多选)(2023·台州模拟)已知下表为离散型随机变量X的分布列，其中ab≠0，则下列说法正确的是()

X

0

1

2

P

a

eq\f(b,2)

eq\f(b,2)

A.a＋b＝1 B．E(X)＝2b

C．D(X)有最大值 D．D(X)有最小值

(2)已知随机变量ξ的分布列如表所示，当E(ξ)＝eq\f(3,4)时，D(2ξ＋1)＝________.

ξ

0

1

2

P

eq\f(1,2)

a

b

规律方法分布列性质的两个作用

(1)利用分布列中各事件概率之和为1的性质可求参数的值及检查分布列的正确性．

(2)随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求随机变量在某个范围内的概率．

跟踪演练1(1)(多选)已知某项试验成功率是失败率的2倍，若用随机变量X描述一次试验的成功次数，E(X)，D(X)分别为随机变量的均值和方差，则()

A．P(X＝0)＝eq\f(1,3) B．E(2X)＝eq\f(4,3)

C．D(X)＝eq\f(2,9) D．D(3X＋1)＝3

(2)(多选)(2023·温州模拟)随机变量X的分布列如表所示，则D(bX)的最大值为()

X

1

2

3

P

a

2b

a

A.eq\f(2,9) B.eq\f(1,9)

C.eq\f(2,27) D.eq\f(1,27)

考点二随机变量的分布列

核心提炼

1．二项分布

一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0p1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.

E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．

2．超几何分布

一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品，从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,M)C\o\al(n－k,N－M),C\o\al(n,N))，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．E(X)＝n·eq\f(M,N).

考向1相互独立事件

例2(2023·济南模拟)某校举行“学习二十大，奋进新征程”知识竞赛，知识竞赛包含预赛和决赛．

(1)下表为某10位同学预赛成绩：

得分

93

94

95

96

97

98

人数

2

2

3

1

1

1

求该10位同学预赛成绩的第75百分位数和平均数；

(2)决赛共有编号为A，B，C，D，E的5道题，学生甲按照A，B，C，D，E的顺序依次作答，答对的概率依次为eq\f(2,3)，eq\f(1,2)，eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，eq\f(1,3)，各题作答互不影响，若累计答错两道题或五道题全部答完则比赛结束，记X为比赛结束时学生甲已作答的题数，求X的分布列和均值．

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