高中数学学案 　排列数.docVIP

第二课时排列数

课标要求1.能利用计数原理推导排列数公式.2.掌握几种有限制条件的排列，能应用排列数公式解决简单的实际问题.

【知识梳理】

1.排列数的定义

从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同的元素，所有不同排列的个数叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号Aeq\o\al(m,n)表示.

2.排列数公式及全排列

(1)Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，其中n，m∈N＋，并且m≤n.

(2)Aeq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,（n－m）！).

(3)从n个不同元素中取出n个不同的元素(即全部取出)排成一列，叫作n个元素的一个全排列，此时Aeq\o\al(n,n)＝n！(叫作n的阶乘).规定：0！＝1.

温馨提醒1.“排列”是指从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，不是数；“排列数”是指从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，是一个数.

2.m个连续自然数之积，最大的因数是n，最小的因数是n－m＋1；公式中的m，n应该满足n，m∈N＋，m≤n，当mn时不成立.

【自测检验】

1.思考辨析，判断正误

(1)89×90×91×92×…×100可表示为Aeq\o\al(12,100).(√)

(2)甲、乙、丙三名同学排成一排，不同的排列方法有4种.(×)

提示由排列的定义可知，共有Aeq\o\al(3,3)＝3×2×1＝6种排列方法.

(3)若Aeq\o\al(m,12)＝9×10×11×12，则m＝4.(√)

(4)5本不同的课外读物分给5位同学，每人一本，则不同的分配方法有120种.(√)

2.Aeq\o\al(3,9)等于()

A.9×3

B.93

C.9×8×7

D.9×8×7×6×5×4×3

答案C

3.有5名同学被安排在周一至周五值日，已知同学甲只能在周一值日，那么5名同学值日顺序的编排方案共有()

A.12种 B.24种

C.48种 D.120种

答案B

解析∵同学甲只能在周一值日，

∴除同学甲外的4名同学将在周二至周五值日，

∴5名同学值日顺序的编排方案共有Aeq\o\al(4,4)＝24(种).

4.5Aeq\o\al(3,5)＋4Aeq\o\al(2,4)＝________.

答案348

解析原式＝5×5×4×3＋4×4×3＝348.

题型一排列数公式及应用

角度1利用排列数公式求值

例1计算：(1)Aeq\o\al(3,15)和Aeq\o\al(6,6)；

(2)eq\f(2Aeq\o\al(5,8)＋7Aeq\o\al(4,8),Aeq\o\al(8,8)－Aeq\o\al(5,9)).

解(1)Aeq\o\al(3,15)＝15×14×13＝2730，

Aeq\o\al(6,6)＝6×5×4×3×2×1＝720.

(2)eq\f(2Aeq\o\al(5,8)＋7Aeq\o\al(4,8),Aeq\o\al(8,8)－Aeq\o\al(5,9))＝eq\f(2×8×7×6×5×4＋7×8×7×6×5,8×7×6×5×4×3×2×1－9×8×7×6×5)

＝eq\f(8×7×6×5×（8＋7）,8×7×6×5×（24－9）)＝1.

角度2利用排列数公式化简

例2(1)用排列数表示(55－n)(56－n)…(69－n)(n∈N＋且n55)；

(2)化简：n(n＋1)(n＋2)(n＋3)…(n＋m).

解(1)因为55－n，56－n，…，69－n中的最大数为69－n，且共有69－n－(55－n)＋1＝15(个)元素，

所以(55－n)(56－n)…(69－n)＝Aeq\o\al(15,69－n).

(2)由排列数公式可知n(n＋1)(n＋2)(n＋3)…(n＋m)＝Aeq\o\al(m＋1,n＋m).

角度3利用排列数公式证明

例3求证：Aeq\o\al(m,n＋1)－Aeq\o\al(m,n)＝mAeq\o\al(m－1,n).

证明法一因为Aeq\o\al(m,n＋1)－Aeq\o\al(m,n)＝eq\f(（n＋1）！,（n＋1－m）！)－eq\f(n！,（n－m）！)

＝eq\f(n！,（n－m）！)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n＋1,n＋1－m)－1))＝eq\f(n！,（n－m）！)·eq\f(m,n＋1－m)

＝m·eq\f(n！,（n＋1－m）！)＝mAeq\o\al(m－1,n)，

所以Aeq\o\al(m,n＋1)－Aeq\o\al(m,n)＝mAeq\o\al(m－1,n).

法二Aeq\o\al(m,n＋