高中数学一轮总复习提优点1　极化恒等式与等和线.docVIP

提优点1极化恒等式与等和线

【知识拓展】

1.极化恒等式：a·b＝eq\f(1,4)[(a＋b)2－(a－b)2].

(1)几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的eq\f(1,4).

(2)在平行四边形PMQN中，O是对角线交点，则：

①eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PN,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)(|eq\o(PQ,\s\up6(→))|2－|eq\o(NM,\s\up6(→))|2)(平行四边形模式)；

②eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PN,\s\up6(→))＝|eq\o(PO,\s\up6(→))|2－eq\f(1,4)|eq\o(NM,\s\up6(→))|2(三角形模式).

2.平面向量共线定理

已知平面内一组基向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))及任一向量eq\o(OP,\s\up6(→))，且eq\o(OP,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，若λ＋μ＝1，则A，B，P三点共线；反之亦然.

3.平面向量等和线定理

平面内一组基底eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))及任一向量eq\o(OP,\s\up6(→))，且eq\o(OP,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，若点P在直线AB上或在平行于AB的直线上，且k＝eq\f(|OP|,|OF|)＝eq\f(|OB1|,|OB|)＝eq\f(|OA1|,|OA|)，则λ＋μ＝k(定值)，反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为平面向量基本定理系数的等和线.

(1)当等和线恰为直线AB时，k＝1，

(2)当等和线在O点和直线AB之间时，k∈(0，1)；

(3)当直线AB在O点和等和线之间时，k∈(1，＋∞)；

(4)当等和线过O点时，k＝0.

【类型突破】

类型一利用极化恒等式求向量的数量积

例1(1)如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点.eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＝4，eq\o(BF,\s\up6(→))·eq\o(CF,\s\up6(→))＝－1，则eq\o(BE,\s\up6(→))·eq\o(CE,\s\up6(→))的值为________.

(2)如图，在平行四边形ABCD中，AB＝1，AD＝2，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD边上的中点，则eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(FG,\s\up6(→))＋eq\o(GH,\s\up6(→))·eq\o(HE,\s\up6(→))＝________.

答案(1)eq\f(7,8)(2)eq\f(3,2)

解析(1)设BD＝DC＝m，AE＝EF＝FD＝n，

则AD＝3n.

根据向量的极化恒等式，有

eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))2－eq\o(DB,\s\up6(→))2＝9n2－m2＝4，

eq\o(FB,\s\up6(→))·eq\o(FC,\s\up6(→))＝eq\o(FD,\s\up6(→))2－eq\o(DB,\s\up6(→))2＝n2－m2＝－1，

联立解得n2＝eq\f(5,8)，m2＝eq\f(13,8).

因此eq\o(EB,\s\up6(→))·eq\o(EC,\s\up6(→))＝eq\o(ED,\s\up6(→))2－eq\o(DB,\s\up6(→))2＝4n2－m2＝eq\f(7,8).

即eq\o(BE,\s\up6(→))·eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\f(7,8).

(2)连接EG，FH交于点O，

则eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(FG,\s\up6(→))＝eq\o(EO,\s\up6(→))2－eq\o(OH,\s\up6(→))2＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(3,4)，

eq\o(GH,\s\up6(→))·eq\o(HE,\s\up6(→))＝eq\o(GO,\s\up6(→))2－eq\o(OH,\s\up6(→))2＝1－eq\b\lc\(\r