平面向量的分解.ppt

2.3平面向量的基本定理

平面向量的

基本定理

l在物理中，我们学习了力的分解，即一个力可以分解为两个不同方向的

力，试想平面内的任一向量是否可以分解为其他两个向量的和？

l提示：可以．

01l如图，以a为平行四边形的一条对角线作平行四边形，四边形确定吗？

l提示：不确定．

02新课讲解

如果e1，e2是两个不共线的确定向量，那么与e1，

e2在同一平面内的任一向量a能否用e1，e2表示？

根据是什么？

04

提示：可以，根据是数乘向量和平行四边形法则．

03

02

如果e1，e2是共线向量，那么向量a能否用e1，e2

01表示？为什么？

提示：不一定，当a与e1共线时可以表示，否则不能

表示．

一、平面向量基本定理

不共线

(1)定理：如果e1、e2是同一平面内的两个

向量，那么对于这一平面内任的意向量有a且，只有一对

实数、，使＝

λuaλe1＋ue2.

(2)基底：不共线的向量e1，e2叫做表示这一

平面所内有向量的一组基底.

分析思考

1.如果e1、e2是平面α内两个不共线的向量，判断下列说法是

否正确．

①λe1＋μe2(λ、μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；

②对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有

无穷多个；

③若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数

λ，使得λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)；

④若实数λ，μ使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0.

解：由平面向量基本定理可知，①④是正确的；

2.不正确，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面

的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数

对是唯一的；

3.不正确，当两向量的系数均为零，即λ1＝λ2＝μ1＝

μ2＝0时，这样的λ有无数个．

二．设e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下列

○四组向量中，不能作为基底的是()

lA．e1＋e2和e1－e2B．3e1－4e2和6e1－8e2

lC．e1＋2e2和2e1＋e2D．e1和e1＋e2

○解析：∵6e1－8e2＝2(3e1－4e2)，

○∴(6e1－8e2)∥(3e1－4e2)，∴3e1－4e2和6e1－8e2

○不能作为平面的基底．

○答案：B

一．两条直线存在夹角，那么两个向量也有夹角吗？

01

l提示：有．

一．两条直线在